[论文解读] A categorification of U_q sl(1,1) as an algebra

Tian Yin|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文通过微分分次代数 $R_n$ 及其导出范畴，构建了量子群 $\mathfrak{sl}(1|1))$ 的积分形式的范畴化。它定义了三角范畴 $\mathcal{U}_n$ 和 $\mathcal{U}_{n,n}$，其格罗滕迪克群分别实现 $\mathbf{U}_n$ 和 $\mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n$，并构造了一个精确函子 $\mathcal{F}_n$，其在 $K_0$ 上的诱导映射恢复了 $\mathbf{U}_n$ 中的乘法，从而实现了代数结构的范畴化。

ABSTRACT

We construct families of differential graded algebras R and R \boxtimes R and give an algebraic formulation of the contact category of a disk through the differential graded category DGP(R) generated by some distinguished projective differential graded R-modules. The homology category H^0(DGP(R)) is a triangulated category and its Grothendieck group is a Clifford algebra. We then categorify the Clifford algebra to a functor from DGP(R \boxtimes R) to DGP(R). We construct a subcategory of the homology category which categorifies an integral version of U_q sl(1,1) as an algebra.

研究动机与目标

• 为 $\mathbf{U}_q(\mathfrak{sl}(1|1))$ 的积分形式 $\mathbf{U}_n$ 的代数结构提供范畴化。
• 构造三角范畴 $\mathcal{U}_n$ 和 $\mathcal{U}_{n,n}$，使其格罗滕迪克群分别同构于 $\mathbf{U}_n$ 和 $\mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n$。
• 定义一个精确函子 $\mathcal{F}_n: \mathcal{U}_{n,n} \to \mathcal{U}_n$，使得其在 $K_0$ 上的诱导映射匹配乘法映射 $\operatorname{m}_n: \mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n \to \mathbf{U}_n$。

提出的方法

• 使用图解与代数框架，为 $n > 0$ 构造微分分次代数 $R_n$ 和 $R_n \boxtimes R_n$。
• 将微分分次范畴 $DGP(R_n)$ 定义为在特殊投射 $R_n$-模之间映射的有限次迭代映射柱的范畴。
• 将 $0$-阶同调范畴 $H^0(DGP(R_n))$ 识别为一个三角范畴，其格罗滕迪克群同构于一个克利福德代数。
• 引入一个双函子 $\chi_n$，通过张量积与移位组合 $H^0(DGP(R_n))$ 中的对象，并与映射 $\mathcal{M}_n$ 复合，以定义乘法函子 $\rho_n$。
• 通过偶数或奇数指标的投射模 $P([i])$ 的直和，将 $\mathbf{U}_n$ 的生成元 $1, q, q^{-1}, E, F$ 提升为 $H^0(DGP(R_n))$ 中的对象。
• 将子范畴 $\mathcal{U}_n$ 构造为 $H^0(DGP(R_n))$ 中最小的全三角子范畴，且在提升的乘法 $\rho_n$ 下封闭，类似地定义 $\mathcal{U}_{n,n}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过三角范畴与函子对 $\mathbf{U}_n$ 的积分形式 $\mathbf{U}_q(\mathfrak{sl}(1|1))$ 的代数结构实现范畴化？
• RQ2 是否存在一个函子，其格罗滕迪克群映射能恢复 $\mathbf{U}_n$ 中的乘法？
• RQ3 如何将 $\mathbf{U}_n$ 的生成元 $E, F, q, q^{-1}$ 提升为三角范畴中的对象，以范畴化地实现代数关系？
• RQ4 微分分次代数 $R_n$ 与 $R_n \boxtimes R_n$ 在实现 $\mathbf{U}_n$ 的范畴化中起什么作用？
• RQ5 能否通过 $R_n$-模的导出范畴代数化地实现圆盘的接触范畴？

主要发现

• 格罗滕迪克群 $K_0(H^0(DGP(R_n)))$ 同构于一个克利福德代数，为底层代数结构提供了范畴化实现。
• 三角范畴 $\mathcal{U}_n$ 被构造为 $H^0(DGP(R_n))$ 中最小的全三角子范畴，且在提升的乘法 $\rho_n$ 下封闭，满足 $K_0(\mathcal{U}_n) \cong \mathbf{U}_n$。
• 范畴 $\mathcal{U}_{n,n}$ 被定义为 $H^0(DGP(R_n \boxtimes R_n))$ 中最小的三角全子范畴，包含所有 $\chi_n(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ 的像（$\mathcal{X}, \mathcal{Y} \in \mathcal{U}_n$），且满足 $K_0(\mathcal{U}_{n,n}) \cong \mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n$。
• 精确函子 $\mathcal{F}_n: \mathcal{U}_{n,n} \to \mathcal{U}_n$ 在格罗滕迪克群上诱导的映射与乘法映射 $\operatorname{m}_n: \mathbf{U}_n \otimes \mathbf{U}_n \to \mathbf{U}_n$ 匹配，从而实现了代数乘法的范畴化。
• 在 $\mathcal{U}_n$ 中，关系 $E^2 = 0$ 的提升不产生同构，因为 $\mathcal{E}\mathcal{E}$ 是一个非零上链复形且微分为零，表明关系并非严格以同构形式被保持。
• 包含映射 $\imath_n: \mathbf{U}_n \to K_0(R_n)$ 通过 $H^0(DGP(R_n))$ 的格罗滕迪克群实现，将 $\mathbf{U}_n$ 嵌入为 $K_0(R_n)$ 的子代数。