[论文解读] A Central Limit Theorem for Wasserstein type distances between two different laws

Philippe Berthet, Jean‐Claude Fort+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了在 ℝ 上两个不同连续分布之间的经验 Wasserstein 型距离的中心极限定理（CLT），使用可能依赖的独立同分布样本的顺序统计量。在分布和代价函数的最小正则性条件下，证明了估计量的渐近正态性和一致性，并为满足测度性质 𝒫 的广义 Wasserstein 代价提供了显式的极限方差。

ABSTRACT

This article is dedicated to the estimation of Wasserstein distances and Wasserstein costs between two distinct continuous distributions $F$ and $G$ on $\mathbb R$. The estimator is based on the order statistics of (possibly dependent) samples of $F$ resp. $G$. We prove the consistency and the asymptotic normality of our estimators. \begin{it}Keywords:\end{it} Central Limit Theorems- Generelized Wasserstein distances- Empirical processes- Strong approximation- Dependent samples.

研究动机与目标

• 为 ℝ 上两个不同连续分布之间的广义 Wasserstein 距离开发一个一致且渐近正态的估计量。
• 将中心极限定理扩展至标准 p-Wasserstein 距离以外的 Wasserstein 型代价，包括凸性和非线性代价。
• 处理来自 F 和 G 的依赖样本，这在计算机实验和基于模拟的推断中很常见。
• 在累积分布函数和代价函数的最小正则性假设下，为估计量的极限方差提供显式表达式。
• 在对底层分布假设最少的前提下，为一元设置下经验 Wasserstein 距离的理论保证提供支持。

提出的方法

• 估计量基于从 F 和 G 的 i.i.d. 样本的顺序统计量导出的经验累积分布函数。
• 通过测度性质 𝒫 定义 Wasserstein 代价，确保存在涉及分位数函数的显式积分表示。
• 在密度及其导数的正则变异性条件下，使用强逼近技术推导联合分位数过程的中心极限定理。
• 通过密度及其导数的渐近行为，特别是利用正则变异性与慢变函数，显式计算极限方差。
• 证明依赖于在条件 (FG)、(C) 和 (CFG) 下对经验过程的强逼近以及分位数过程的统一收敛性结果。
• 使用关于密度及其导数的正则变异性辅助引理，以控制经验估计量的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在密度和代价函数的最小正则性条件下，两个不同连续分布之间的经验 Wasserstein 距离是否收敛于正态分布？
• RQ2 对于满足测度性质 𝒫 的广义 Wasserstein 代价，能否显式计算经验 Wasserstein 估计量的极限方差？
• RQ3 来自 F 和 G 的样本之间的依赖结构如何影响 Wasserstein 估计量的渐近分布？
• RQ4 F 和 G 的密度需要满足什么条件，才能保证经验 Wasserstein 估计量的一致性和渐近正态性？
• RQ5 中心极限定理在多大程度上可以被扩展到标准 p-Wasserstein 距离以外的非线性、凸代价函数？

主要发现

• 在条件 (FG)、(C) 和 (CFG) 下，经验 Wasserstein 距离估计量是一致的，确保以概率收敛于真实的 Wasserstein 代价。
• 估计量满足一个中心极限定理，其极限方差显式给出，且依赖于 F 和 G 的密度以及代价函数 c 的联合行为。
• 极限方差通过分位数过程的渐近行为以及密度及其导数的正则变异性推导得出。
• 对于形式为 c(x,y) = |x−y|^p 且 p ≥ 1 的代价函数，极限方差显式地用 F 和 G 的密度表示。
• 即使 F 和 G 的样本是依赖的，结果仍然成立，这对计算机实验中的基于模拟的推断至关重要。
• 本文证明了在条件 (C2) 下，函数 ρ(x) = exp(l(x)) 是凸的（若 l₁ > 1 则为严格凸），这支持了估计量的渐近正态性。