[论文解读] A Characterization of Approximation Resistance

Subhash Khot, Madhur Tulsiani+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文在唯一博弈猜想（UGC）下对约束满足问题（CSPs）中的近似抗性谓词提供了完整的刻画，表明一个谓词是近似抗性的当且仅当其关联的凸多面体上存在具有特定对称性质的概率测度。该刻画在混合线性和半定规划层级以及Sherali-Adams线性规划层级中同样成立，为理解CSP近似算法的极限提供了一个统一的框架。

ABSTRACT

A predicate f:{-1,1}^k -> {0,1} with ρ(f) = \frac{|f^{-1}(1)|}{2^k} is called {\it approximation resistant} if given a near-satisfiable instance of CSP(f), it is computationally hard to find an assignment that satisfies at least ρ(f)+Ω(1) fraction of the constraints. We present a complete characterization of approximation resistant predicates under the Unique Games Conjecture. We also present characterizations in the {\it mixed} linear and semi-definite programming hierarchy and the Sherali-Adams linear programming hierarchy. In the former case, the characterization coincides with the one based on UGC. Each of the two characterizations is in terms of existence of a probability measure with certain symmetry properties on a natural convex polytope associated with the predicate.

研究动机与目标

• 为约束满足问题（CSPs）中的近似抗性谓词提供完整的刻画。
• 建立谓词是近似抗性的充要条件为：其关联的凸多面体上存在对称概率测度。
• 将该刻画扩展至混合线性和半定规划层级以及Sherali-Adams线性规划层级。
• 统一并推广先前关于近似抗性的结果，包括基于成对独立分布和整数规划间隙的研究。
• 通过识别抗性的确切结构条件，解决在唯一博弈猜想下CSP的复杂性问题。

提出的方法

• 为每个谓词f定义一个关联的凸多面体，表示所有满足赋值分布的集合。
• 引入该多面体上的对称概率测度，作为近似抗性的关键结构条件。
• 利用唯一博弈猜想（UGC）证明：此类对称测度的存在性恰好刻画了近似抗性。
• 将Sherali-Adams层级与混合LP/SDP层级相结合，表明相同的对称测度条件在这些框架中同样刻画了抗性。
• 通过迭代条件化与误差界，构造小变量集上的局部一致概率分布。
• 利用Raghavendra和Steurer的结果，将近似局部一致的分布提升为具有有界总变差距离的全局一致分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在唯一博弈猜想下，何种结构条件可完全刻画CSP谓词的近似抗性？
• RQ2 近似抗性的刻画能否超越UGC框架，扩展至线性和半定规划层级？
• RQ3 在Sherali-Adams层级中，满足赋值多面体上对称概率测度的存在是否恰好对应于近似抗性？
• RQ4 LP与SDP松弛层级如何与具有特定组合结构的谓词的近似抗性相关联？
• RQ5 满足赋值上的成对独立分布与更广泛的近似抗性概念之间存在何种精确关系？

主要发现

• 在唯一博弈猜想下，谓词f是近似抗性的当且仅当其关联的凸多面体上存在对称概率测度。
• 该近似抗性刻画在混合线性和半定规划层级中同样成立，且对称测度条件为必要且充分。
• 该刻画可扩展至Sherali-Adams线性规划层级，在此框架中，此类测度的存在意味着LP松弛的整数规划间隙趋近于1。
• 对任意ε > 0，存在一个具有n个变量的CSP(f)实例，使得每个整数赋值满足的约束比例在[ρ(f)−ε, ρ(f)+ε]之间，而cε·log log n轮的Sherali-Adams松弛值至少为1−O(k√ε)。
• 该构造在Sherali-Adams层级中实现了近似最优的整数规划间隙与轮数之间的权衡，表明即使在对数轮之后，该层级仍无法检测到近似抗性谓词的可满足性。