[论文解读] A characterization of certain Shimura curves in the moduli stack of abelian varieties

Eckart Viehweg, Kang Zuo|ArXiv.org|Jul 25, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文通过证明这些族与常值阿贝尔簇及模椭圆曲线的积之间存在同源关系，且基曲线为希伽玛曲线，从而刻画了实现阿拉凯洛夫界限的阿贝尔簇族。霍奇丛中霍奇场的最大性对应于纤维上的特殊霍奇循环与模结构，将算术几何与希伽玛簇通过霍奇结构的变体及单值性约束联系起来。

ABSTRACT

Let f:X-->Y be a semi-stable family of complex abelian varieties over a curve Y of genus q, and smooth over the complement of s points. If F(1,0) denotes the non-flat (1,0) part of the corresponding variation of Hodge structures, the Arakelov inequalities say that 2deg(F(1,0)) is bounded from above by g=rank(F(1,0))(2q-2+s). We show that for s>0 families reaching this bound are isogenous to the g-fold product of a modular family of elliptic curves, and a constant abelian variety. For s=0, if the flat part of the VHS is defined over the rational numbers, the family is isogeneous to the g-fold product of a family h:Z-->Y, and a constant abelian variety. In this case, h:Z-->Y is obtained from the corestriction of a quaternion algebra A, defined over a totally real numberfield F, and ramified over all infinite places but one. In case the flat part of the VHS is not defined over the rational numbers, we determine the structure of the VHS.

研究动机与目标

• 以霍奇理论与几何结构为框架，刻画实现阿拉凯洛夫界限的阿贝尔簇族。
• 建立霍奇场最大性与一般纤维上特殊霍奇循环存在的联系。
• 证明此类族在有限 étale 覆盖下同源于常值阿贝尔簇与模椭圆曲线族的积。
• 将此类族的几何与算术性质与希伽玛簇及穆尔福-泰特群理论联系起来。
• 通过霍奇丛分解与辛普森对应，提供一种替代希伽玛簇分类的方法。

提出的方法

• 利用德利涅延拓与霍奇滤过，从霍奇结构的变体 R¹f_*ℤ_X₀ 构造霍奇丛 (E, θ)。
• 通过霍奇丛的分解定理，将霍奇丛分解为一个充分部分 F 与一个平坦部分 N。
• 应用辛普森对应，将霍奇场的最大性与局部系统作为秩二权一变体与单位酉系统之直和及张量积的结构联系起来。
• 分析单值性与幂幺性条件，以确保霍奇场在基曲线的对数结构下定义良好且相容。
• 利用阿拉凯洛夫不等式及其等号成立情形，刻画极值族。
• 通过霍奇场的最大性将问题约化至模椭圆曲线情形，从而构造希伽玛曲线作为模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些几何与霍奇理论条件刻画了实现阿拉凯洛夫界限的阿贝尔簇族？
• RQ2 霍奇场的最大性如何与一般纤维上特殊霍奇循环的存在性相关？
• RQ3 能否将实现阿拉凯洛夫界限的族分解为更简单的分量？若能，其构成为何？
• RQ4 此类族在模理论上的解释是什么？其与希伽玛簇或全测地子簇的关系如何？
• RQ5 是否存在实现阿拉凯洛夫界限的曲线的雅可比簇族？若存在，其条件为何？

主要发现

• 实现阿拉凯洛夫界限的阿贝尔簇族，在某个有限 étale 覆盖下同源于一个常值阿贝尔簇与若干个模椭圆曲线族的积。
• 基曲线 Y 为希伽玛曲线，且该族是某个具有合适水平结构的模空间上全族的拉回。
• 霍奇场的最大性（即 θ 为同构）等价于阿拉凯洛夫界限的实现。
• 当局部系统中无单位酉部分时，穆尔福-泰特群定义在 ℚ 上，且该族是某个具有给定 Hg 子群的希伽玛簇上全族的拉回。
• 在 ℙ¹ 上的曲线的雅可比簇情形，仅当奇异纤维数恰好为四个时，阿拉凯洛夫界限才被实现，且此类族同源于常值阿贝尔簇与模椭圆曲线族的积。
• 存在反例表明此类族可作为雅可比簇出现，例如通过具有水平结构的椭圆曲线的赫尔维茨覆盖，其在曲线族中除尖点外另有三个额外奇异纤维。