[论文解读] A characterization of representable intervals

Michael A. Warren|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2009

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文通过识别此类区间何时诱导出有限双完备的2-范畴结构，对对称闭张量范畴中的可表示严格区间进行了表征。证明了当且仅当严格区间是具有顶元素和底元素作为生成元的分配格时，其为可表示的，从而将代数结构与2-范畴设定下的同伦完备性联系起来。

ABSTRACT

In this note we provide a characterization, in terms of additional algebraic structure, of those intervals (certain cocategory objects) in a symmetric monoidal closed category E that are representable in the sense of inducing on E the structure of a finitely bicomplete 2-category. Several examples and connections with the homotopy theory of 2-categories are also discussed.

研究动机与目标

• 表征对称闭张量范畴中诱导出有限双完备2-范畴结构的严格区间对象。
• 识别此类区间产生良好行为的同伦论结构的代数条件。
• 将可表示性概念与格论性质（特别是分配性及由顶元素和底元素生成）相联系。
• 为研究弱高维区间及其模型结构奠定基础。
• 探索区间对象与2-范畴模型结构之间的联系，特别是在操作符范畴的背景下。

提出的方法

• 将严格区间定义为对称闭张量范畴 E 中的余范畴对象，其中张量单位 U 作为余对象的载体。
• 引入由此类区间诱导的双范畴结构，当张量结构为笛卡尔结构时，该结构成为2-范畴。
• 应用2-范畴中有限双完备性的概念（即所有有限伪极限和伪上确界的存在性）来表征可表示区间。
• 利用 E 中上向极限和下向极限的普遍性质来定义所诱导2-范畴的结构映射。
• 使用内部同态和张量积来表达区间的代数结构，特别是通过余半群和格运算。
• 当区间可表示时，应用 Berger 和 Moerdijk 关于将模型结构提升至约化操作符的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种代数条件下，严格区间对象会诱导出有限双完备2-范畴结构？
• RQ2 区间上的分配格结构如何与其中2-范畴意义下的可表示性相关联？
• RQ3 顶元素和底元素作为生成元在区间可表示性中起什么作用？
• RQ4 可表示区间如何与2-范畴和操作符范畴上的模型结构相关联？
• RQ5 在代数结构方面，严格区间与弱高维区间（例如拓扑单位区间或单纯单位区间）有何不同？

主要发现

• 在对称闭张量范畴 E 中，严格区间 I 是可表示的（即诱导出有限双完备2-范畴）当且仅当 I 是一个分配格，其顶元素和底元素作为生成元生成该格结构。
• 区间的可表示性等价于存在满足交换霍普夫对象与分配格结构公理的相容的共乘法、乘法和格运算。
• 闭单位区间 [0,1] 和单纯区间 Δ[1] 在此意义上并非严格区间对象，因为它们不满足严格的余范畴公理，表明它们是弱 ω-区间。
• 当区间可表示时，所诱导的 E 上2-范畴结构是有限双完备的，从而可应用 Lack 的结果：在以范畴等价为弱等价、等化纤维化为纤维化的模型结构中成立。
• 若区间可表示且模型结构为张量结构，则可使用 Berger 和 Moerdijk 的定理将模型结构从约化操作符范畴上提升。
• 本文建立可表示性等价于区间为带有顶元素和底元素作为生成元的单位分配格，且该结构确保所诱导2-范畴中所有有限伪极限和伪上确界的存 在。