[论文解读] A characterization of supersmoothness of multivariate splines

Michael S. Floater, Kaibo Hu|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2019

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过将多变量样条的超光滑性与共享一个顶点的单形胞腔上多项式样条空间的退化性联系起来，对多变量样条中的超光滑性进行了表征。基于此表征，推导了各种网格构型（包括Clough-Tocher、Alfeld和Worsey-Farin剖分以及2-胞腔）的最高超光滑性阶数，给出了以多项式次数和网格结构表示的最高可实现光滑性阶数的显式公式。

ABSTRACT

We consider spline functions over simplicial meshes in $\RR^n$. We assume that the spline pieces join together with some finite order of smoothness but the pieces themselves are infinitely smooth. Such splines can have extra orders of smoothness at a vertex, a property known as \emph{supersmoothness}, which plays a role in the construction of multivariate splines and in the finite element method. In this paper we characterize supersmoothness in terms of the degeneracy of spaces of polynomial splines over the cell of simplices sharing the vertex, and use it to determine the maximal order of supersmoothness of various cell configurations.

研究动机与目标

• 通过共享顶点的单形胞腔上多项式样条空间的退化性，表征多变量样条在顶点处的超光滑性。
• 确定在n维单纯形网格中各种胞腔构型可达到的最高超光滑性阶数。
• 在样条块无限光滑的假设下，将先前关于超光滑性的结果推广至更高维空间和更高阶光滑性。
• 通过将光滑性与多项式空间上的代数条件关联，提供一个适用于有限元方法和样条构造的通用框架。

提出的方法

• 本文通过共享顶点的单形胞腔上多项式样条空间的退化性，引入了顶点处超光滑性的表征方法。
• 利用多项式样条空间的维数公式，确定空间退化时的情形，这对应于超光滑性的存在。
• 该方法应用定理1，该定理将超光滑性与样条空间公式中特定维数项的消失联系起来。
• 对于Alfeld和Worsey-Farin剖分等特定构型，利用先前工作（如Schenck和Sorokina [10]）中已知的维数公式，计算最高超光滑性。
• 对于2-胞腔，推导出在非单形分量上取零的样条空间的新维数公式，从而得到最高超光滑性的闭式表达式。
• 应用推论1，识别出样条空间退化的最高多项式次数d，从而确定最高超光滑性阶数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在共享顶点的单形胞腔上，多项式样条空间的何种条件可导致顶点处的超光滑性？
• RQ2 在n维空间中，Alfeld剖分的最高超光滑性阶数是多少？
• RQ3 最高超光滑性阶数如何依赖于网格构型，例如Worsey-Farin或2-胞腔结构？
• RQ4 该超光滑性表征能否推广至二维以上的更高维单纯形网格？
• RQ5 样条空间的退化性是否精确对应于顶点处额外光滑性的存在？

主要发现

• 在n维空间中，Alfeld剖分的最高超光滑性阶数为 $\rho_{n,n} = n(n+1) - 1$。
• 对于Worsey-Farin剖分 $\Delta_{n-1,n}$，最高超光滑性阶数为 $\rho_{n-1,r} = r + (n-1)(r+1)$，且该公式在对齐剖分下成立。
• 在三维空间中，Worsey-Farin剖分的最高超光滑性阶数为 $\rho_{2,1} = 2$，与已知结果一致。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 中的2-胞腔构型下，最高超光滑性阶数为 $r + (n-1)(r+1)$，且 $\dim S_d^r(\Delta_2) = \dim \Pi_d + \dim \Pi_{d - n(r+1)}$。
• 在 $\mathbb{R}^2$ 中，2-胞腔的最高超光滑性阶数为 $2r+1$；在 $\mathbb{R}^3$ 中，为 $3r+2$。
• 通过样条空间退化性进行的表征，为任意单纯形网格构型中的超光滑性识别提供了通用且可计算的判据。