[论文解读] A characterization of the Non-Degenerate Source Condition in Super-Resolution

Vincent Duval|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 47被引用 10

一句话总结

本文为超分辨率中的非退化源条件（NDSC）提供了必要且充分的条件，表明对于拉普拉斯核，当测量数至少为2M时，NDSC无条件成立；对于高斯核，NDSC在两种不同情形下成立：当采样点近似于均匀的勒贝格测度时，或当采样点被限制在小区间内时。该结果确保了在噪声条件下基于总变差的超分辨率中支持的稳定性。

ABSTRACT

In a recent article, Schiebinger et al. provided sufficient conditions for the noiseless recovery of a signal made of M Dirac masses given 2M + 1 observations of, e.g. , its convolution with a Gaussian filter, using the Basis Pursuit for measures. In the present work, we show that a variant of their criterion provides a necessary and sufficient condition for the Non-Degenerate Source Condition (NDSC) which was introduced by Duval and Peyr{\\'e} to ensure support stability in super-resolution. We provide sufficient conditions which, for instance, hold unconditionally for the Laplace kernel provided one has at least 2M measurements. For the Gaussian filter, we show that those conditions are fulfilled in two very different configurations: samples which approximate the uniform Lebesgue measure or, more surprisingly, samples which are all confined in a sufficiently small interval.

研究动机与目标

• 建立使用总变差最小化方法时，超分辨率中非退化源条件（NDSC）的必要且充分条件。
• 分析非负测度在噪声超分辨率问题中支持恢复的稳定性。
• 确定何时消失导数预证书函数可在尖峰位置取值为1，而在其他位置严格小于1。
• 识别满足高斯核NDSC的配置，如均匀采样或局部采样。
• 通过表征支持稳定性得以保证的条件，将先前关于无噪声恢复的结果扩展至噪声环境。

提出的方法

• 采用Schiebinger等人提出准则的变体，推导出NDSC的必要且充分条件。
• 分析消失导数预证书，即Fuchs预证书的推广形式，以评估其是否能在尖峰位置插值真实测度的符号。
• 利用涉及核函数导数的矩阵的行列式分析，表征在尖峰位置具有单位范数的证书函数存在的条件。
• 应用一致连续性和紧致性论证，表明在采样点发生小扰动时，基于行列式的函数仍保持正值。
• 利用高斯核的扩展完全正则性，证明在无穷远处极限行列式的正值。
• 采用涉及采样点的凸组合的参数化方法，以控制证书函数在整个定义域上的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非退化源条件（NDSC）对于非负测度的超分辨率支持稳定性而言，既是必要又是充分的？
• RQ2 对于拉普拉斯核，当至少有2M个测量值时，NDSC是否无条件成立？
• RQ3 当采样点在定义域内均匀分布时，NDSC是否对高斯核成立？
• RQ4 当所有采样点被限制在小区间内时，即使尖峰位置彼此接近，NDSC是否仍可满足？
• RQ5 核函数导数的结构在确保有效预证书函数存在性方面起何种作用？

主要发现

• 对于拉普拉斯核，当至少有2M个测量值时，NDSC无条件满足，从而确保了在噪声超分辨率中的支持稳定性。
• 对于高斯核，当采样点近似于定义域上的均匀勒贝格测度时，NDSC成立。
• 对于高斯核，当所有采样点被限制在足够小的区间内时，NDSC也成立。
• 用于表征预证书的基于行列式的函数在采样点发生小扰动时仍保持一致正值，从而确保了鲁棒性。
• 由于高斯核的扩展完全正则性，行列式在无穷远处的极限行为严格为正。
• 分析证实，消失导数预证书可在尖峰位置取值为1，而在其他位置严格小于1，这既是支持稳定性的必要条件也是充分条件。