[论文解读] A Class of Binomial Permutation Polynomials

Ziran Tu, Xiangyong Zeng+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 27

一句话总结

本文提出了一种针对偶特征有限域上二项式置换多项式的判别准则，利用加法特征和与极坐标表示。该文建立了多项式 $ f(x) = x^{d_1} + u_2x^{d_2} $ 为置换多项式的条件，从而导出具有 Niho 型指数的新一类二项式与单项式完全置换多项式，特别适用于 $ n = 2m $ 的情形。

ABSTRACT

In this note, a criterion for a class of binomials to be permutation polynomials is proposed. As a consequence, many classes of binomial permutation polynomials and monomial complete permutation polynomials are obtained. The exponents in these monomials are of Niho type.

研究动机与目标

• 开发一种针对形式为 $ f(x) = x^{d_1} + u_2x^{d_2} $ 的二项式多项式在 $ \mathbb{F}_{2^n} $ 上成为置换多项式的通用判别准则。
• 识别有限域偶特征上新的二项式与单项式完全置换多项式类别。
• 扩展对具有 Niho 型指数的置换多项式的理解，特别关注条件 $ d_i \equiv e \pmod{2^{n/2}-1} $ 的情形。
• 探讨加法特征和与极坐标表示在分析置换行为中的适用性。
• 提出并验证关于 $ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ 上三次数置换多项式的猜想，其中 $ m $ 为奇数。

提出的方法

• 基于加法特征的判别准则：当且仅当对所有非零 $ \gamma \in \mathbb{F}_{2^n} $，有 $ \sum_{x \in \mathbb{F}_{2^n}} (-1)^{\operatorname{Tr}_1^n(\gamma f(x))} = 0 $，则多项式 $ f $ 是 $ \mathbb{F}_{2^n} $ 上的置换多项式。
• 应用变量替换 $ x \mapsto \delta x $，将求和式化为 $ \sum_{x \in \mathbb{F}_{2^n}} (-1)^{\operatorname{Tr}_1^n(x^{d_1} + w_2 x^{d_2})} $，其中 $ w_2 = u_2 \delta^{d_1 - d_2} $。
• 采用极坐标表示：每个非零 $ x \in \mathbb{F}_{2^n} $ 唯一表示为 $ x = \lambda y $，其中 $ \lambda \in U $，即 $ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ 的单位圆，且 $ y \in \mathbb{F}_{2^m}^* $。
• 将指数和简化为在 $ U $ 上的解数计数：$ \sum_{x} (-1)^{\cdots} = (N(w_2) - 1) \cdot 2^m $，其中 $ N(w_2) $ 表示满足 $ \lambda^{d_1} + w_2 \lambda^{d_2} + (\lambda^{d_1} + w_2 \lambda^{d_2})^{2^m} = 0 $ 的 $ \lambda \in U $ 的数量。
• 运用数论工具，包括模素数下 2 的阶，分析 $ \gcd(2^k + 1, p) $，这对于验证判别准则中的条件至关重要。
• 应用引理 4 确定 $ \gcd(2^k + 1, p) = 1 $ 的条件，从而实现对完全置换多项式条件的验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ n = 2m $ 的条件下，二项式多项式 $ f(x) = x^{d_1} + u_2x^{d_2} $ 在 $ \mathbb{F}_{2^n} $ 上成为置换多项式的条件是什么？
• RQ2 如何利用指数结构 $ d_i \equiv e \pmod{2^{m}-1} $ 构造新的完全置换多项式类别？
• RQ3 单位圆 $ U = \{ \lambda \in \mathbb{F}_{2^{2m}} : \lambda^{2^m + 1} = 1 \} $ 在刻画置换行为中起什么作用？
• RQ4 该二项式判别准则能否推广至具有类似指数结构的三次数或更高次多项式？
• RQ5 猜想中的三次数 $ f(x) = x^{2^m + 4} + x^{2^{m+1} + 3} + x^{2^{m+2} + 1} $ 和 $ g(x) = x^{2^m} + x^{2^{m+1} - 1} + x^{2^{2m} - 2^m + 1} $ 真的是 $ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ 上的置换多项式吗？

主要发现

• 建立了判别准则：当且仅当对所有 $ w_2 \in \mathbb{F}_{2^n} $，有 $ \sum_{x \in \mathbb{F}_{2^n}} (-1)^{\operatorname{Tr}_1^n(x^{d_1} + w_2 x^{d_2})} = 0 $，则 $ f(x) = x^{d_1} + u_2x^{d_2} $ 是 $ \mathbb{F}_{2^n} $ 上的置换多项式，其中 $ n = 2m $。
• 构造了六类新的完全置换多项式，包括 $ u^{-1}x^d $，其中 $ d = s(2^m - 1) + 1 $，在 $ s $、$ m $ 和 $ u \in U \setminus U^{2^t + 1} $ 满足特定条件时成立。
• 当 $ s = 6 $，$ m $ 为奇数且 $ 5 \nmid m $ 时，$ u^{-1}x^d $ 是 $ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ 上的完全置换多项式，通过验证 $ \gcd(d, 2^{2m} - 1) = 1 $，$ \gcd(6, 2^m + 1) > 1 $，以及 $ \gcd(5, 2^m + 1) = 1 $ 得到确认。
• 验证了关于 $ f(x) = x^{2^m + 4} + x^{2^{m+1} + 3} + x^{2^{m+2} + 1} $ 是 $ \mathbb{F}_{2^{2m}} $ 上置换多项式的猜想在 $ m = 3, 5, 7, 9 $ 时成立，但一般性证明仍待解决。
• 该方法成功推广至单项式完全置换多项式，通过推论 2 中的判别准则实现，特别当 $ d = s(2^m - 1) + 1 $ 且 $ s $ 满足数论条件时。
• 分析表明，方程 $ \lambda^{d_1} + w_2 \lambda^{d_2} + (\lambda^{d_1} + w_2 \lambda^{d_2})^{2^m} = 0 $ 在 $ U $ 中的解数决定了指数和的值，从而决定了置换性质。