[论文解读] Permutation polynomials on F_q induced from bijective Redei functions on subgroups of the multiplicative group of F_q

Michael E. Zieve|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用 27

一句话总结

本文通过利用 Rédei 有理函数在 $(Q+1)$-次单位根集合上诱导的双射，构建了有限域 $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上新的置换多项式类。证明了在明确的 gcd 条件下，特定的三项式形式可置换 $\mathbb{F}_{Q^2}$，并基于有理函数共轭与 $\mathbb{F}_{Q^2}^*$ 的子群的群论性质，提出了一个新颖的框架，从而解决了 Tu、Zeng、Hu 和 Li 提出的关于置换三项式两个猜想。关键贡献在于提出了一种通过有理函数作用于单位根来生成置换多项式的通用方法，突破了经典多项式形式的限制。

ABSTRACT

We construct classes of permutation polynomials over F_{Q^2} by exhibiting classes of low-degree rational functions over F_{Q^2} which induce bijections on the set of (Q+1)-th roots of unity in F_{Q^2}. As a consequence, we prove two conjectures about permutation trinomials from a recent paper by Tu, Zeng, Hu and Li.

研究动机与目标

• 解决 Tu、Zeng、Hu 和 Li 提出的关于 $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上置换三项式的两个猜想。
• 通过有理函数在 $(Q+1)$-次单位根集合上诱导双射，开发一种构造置换多项式的全新方法。
• 通过用有理函数替代经典框架中对单位根的多项式映射，将置换多项式的经典形式 $x^r h(x^d)$ 扩展，从而生成新的置换多项式类。
• 证明特定形式 $x^{n+k(Q+1)} \cdot \left( (\gamma x^{Q-1}-\beta)^n - \gamma(x^{Q-1}-\gamma^Q\beta)^n \right)$ 的三项式在 $n$、$k$ 和 $Q$ 的明确数论条件下可置换 $\mathbb{F}_{Q^2}$。
• 利用 Rédei 函数理论与域自同构，为 Tu、Zeng、Hu 和 Li 工作中的主结果提供一个简洁统一的证明。

提出的方法

• 该方法依赖于在 $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上构造有理函数，使其在 $(Q+1)$-次单位根集合 $\mu_{Q+1}$ 上诱导双射，利用通过 Möbius 变换与 $x^n$ 共轭的一次有理函数。
• 采用 Rédei 函数理论——即在扩张域上与单项式共轭的有理函数——以表示 $\mu_{Q+1}$ 上的置换，从而在 $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上构造置换多项式。
• 核心技术在于分析有理函数 $\ell(x) = (\delta x - \beta \delta^Q)/(x - \beta)$ 在 $\mu_{Q+1}$ 上的作用，证明 $\ell(\mu_{Q+1}) = \mathbb{F}_Q \cup \{\infty\}$，从而将置换条件简化为乘法阶的条件。
• 利用恒等式 $G(x) = \ell^{-1} \circ x^n \circ \ell(x)$，将有理函数在 $\mu_{Q+1}$ 上的单射性归约为 $x^n$ 在 $\ell(\mu_{Q+1})$ 上的单射性，这等价于 $\gcd(n, Q-1) = 1$。
• 通过形式 $f(x) = x^{r} h(x^{Q-1})$（其中 $r = n + k(Q+1)$，$h$ 由有理函数的分子与分母导出）将这些有理函数双射提升为 $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上的完整置换多项式。
• 应用引理 2.2，将 $x^r h(x^d)$ 在 $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上的置换性质简化为 $x^r h(x)^d$ 在 $\mu_{(Q^2-1)/d}$ 上的置换性质，此处 $d = Q-1$，因此重点集中于 $\mu_{Q+1}$ 上的置换。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过作用于 $(Q+1)$-次单位根集合的有理函数，而非多项式，来构造 $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上的置换多项式？
• RQ2 形式为 $f(x) = x^{n+k(Q+1)} \cdot \left( (\gamma x^{Q-1}-\beta)^n - \gamma(x^{Q-1}-\gamma^Q\beta)^n \right)$ 的有理函数在何种条件下可置换 $\mathbb{F}_{Q^2}$？
• RQ3 Tu、Zeng、Hu 和 Li 工作中提出的置换三项式猜想是否成立？能否使用基于 Rédei 函数的统一框架加以证明？
• RQ4 能否利用基于域自同构与有理函数共轭的更简洁、更结构化的方法，对 Tu、Zeng、Hu 和 Li 论文中的主结果进行推广并重新证明？
• RQ5 确保此类三项式具有置换性质的 $n$、$k$ 和 $Q$ 的精确数论条件是什么？

主要发现

• 多项式 $f(x) = x^{n+k(Q+1)} \cdot \left( (\gamma x^{Q-1}-\beta)^n - \gamma(x^{Q-1}-\gamma^Q\beta)^n \right)$ 当且仅当 $\gcd(n+2k, Q-1) = 1$ 且 $\gcd(n, Q+1) = 1$ 时置换 $\mathbb{F}_{Q^2}$。
• 对于第二类，$f(x) = x^{n+k(Q+1)} \cdot \left( (\delta x^{Q-1}-\beta\delta^Q)^n - \delta(x^{Q-1}-\beta)^n \right)$，置换条件为 $\gcd(n(n+2k), Q-1) = 1$。
• 推论 1.3 表明，当且仅当 $\gcd(2k+3, Q-1) = 1$ 且 $3 \nmid Q$ 时，$g(x) = x^{k(Q+1)+3} + 3x^{k(Q+1)+Q+2} - x^{k(Q+1)+3Q}$ 置换 $\mathbb{F}_{Q^2}$。
• 推论 1.4 确认，对所有满足 $3 \nmid Q$ 的 $Q$，$x^Q + 3x^{2Q-1} - x^{Q^2 - Q + 1}$ 是 $\mathbb{F}_{Q^2}$ 上的置换多项式，解决了 $Q = 2^{2m+1}$ 时的猜想。
• 本文为 Tu、Zeng、Hu 和 Li 论文主结果的推广版本提供了简洁证明，表明 $f(x) = x^r h(x^{Q-1})$ 当且仅当 $\gcd(r, Q-1) = 1$、$\gcd(r-d, Q+1) = 1$ 且 $h(x)$ 在 $\mu_{Q+1}$ 中无根时置换 $\mathbb{F}_{Q^2}$。
• 在特殊情形 $h(x) = x^d + \beta^{-1}$ 下，本文推导出 $x^{r+d(Q-1)} + \beta^{-1}x^r$ 当且仅当 $\gcd(r, Q-1) = 1$、$\gcd(r-d, Q+1) = 1$ 且 $(-\beta)^{(Q+1)/\gcd(Q+1,d)} \neq 1$ 时置换 $\mathbb{F}_{Q^2}$。