[论文解读] A class of ${ m II_1}$ factors with an exotic abelian maximal amenable subalgebra

Cyril Houdayer|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 10

一句话总结

该论文证明了，对于任意实希尔伯特空间上的 ℤ 混合正交表示，通过自由波戈柳博夫作用构造的半直积 II₁ 因子中，群冯诺依曼代数 L(ℤ) 是极大可约的。这导致了不可数多个非同构的、与粗化双模不相交的奇异 A-A-双模的出现，其形式为 II₁ 因子中极大可约阿纵子代数的 L²(M⊖A)。

ABSTRACT

We show that for every mixing orthogonal representation $π: \Z o \mathcal O(H_\R)$, the abelian subalgebra $\LL(\Z)$ is maximal amenable in the crossed product ${ m II}_1$ factor $Γ(H_\R)\dpr times_π\Z$ associated with the free Bogoljubov action of the representation $π$. This provides uncountably many non-isomorphic $A$-$A$-bimodules which are disjoint from the coarse $A$-$A$-bimodule and of the form $\LL^2(M \ominus A)$ where $A \subset M$ is a maximal amenable masa in a ${ m II_1}$ factor.

研究动机与目标

• 构造 II₁ 因子中除已知情况（如生成元或径向阿纵子代数）之外的新极大可约阿纵子代数的例子。
• 研究与 II₁ 因子中极大可约阿纵子代数 A⊂M 相关的 A-A-双模 L²(M⊖A) 的结构。
• 确定哪些 𝕋² 上的测度类可作为此类双模的谱测度类。
• 通过构造不可数多个非同构的例子，证明双模结构可以是奇异的——即与粗化双模不相交。

提出的方法

• 利用自由高斯函子，将任意可分实希尔伯特空间 Hℝ 关联到一个 II₁ 因子 Γ(Hℝ)′′。
• 通过由混合正交表示 π:ℤ→O(Hℝ) 导出的自由波戈柳博夫作用，构造半直积 II₁ 因子 M = Γ(Hℝ)′′ ⋊π ℤ。
• 应用波帕的渐近正交性作为 L(ℤ) 在 M 中极大可约性的充分条件。
• 通过分析表示 π 的谱性质，证明 L(ℤ) 满足渐近正交性条件。
• 利用不可数多个具有不相交支集的相互奇异的拉赫曼测度的存在性，生成不同的双模结构。
• 定义一个从 2ℕ 到 Prob(𝕋) 的博雷尔映射 x↦μₓ，使得对应的测度 μₓ∞ 相互奇异，从而导出非同构的 A-A-双模。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在生成元、径向和杯状阿纵子代数之外，构造出 II₁ 因子中的极大可约阿纵子代数？
• RQ2 对于极大可约阿纵子代数 A⊂M，A-A-双模 L²(M⊖A) 的谱测度类，哪些 𝕋² 上的测度类可以出现？
• RQ3 是否存在不可数多个非同构的、与粗化 A-A-双模不相交的 A-A-双模？
• RQ4 能否在由混合表示的自由波戈柳博夫作用产生的半直积中，建立 L(ℤ) 的渐近正交性？
• RQ5 拉赫曼测度和独立集在构造奇异双模结构中起什么作用？

主要发现

• 对于任意混合正交表示 π:ℤ→O(Hℝ)，阿贝尔子代数 L(ℤ) 在半直积 II₁ 因子 Γ(Hℝ)′′⋊πℤ 中是极大可约的。
• 该构造产生了不可数多个非同构的 A-A-双模，其中 A=L(ℤ)，且所有双模均与粗化 A-A-双模不相交。
• 与双模 L²(Mₓ⊖A) 关联的测度类 [ηₓ] 对 𝕋² 上的哈尔测度是奇异的，对每个 x∈2ℕ 成立。
• 测度族 (μₓ∞)ₓ∈2ℕ 相互奇异，意味着对应的双模彼此非同构。
• 双模 L²(M⊖A) 的结构由 𝕋² 上的一个测度类 [ηₓ] 编码，该测度类是奇异的，且不与哈尔测度等价。
• 证明依赖于酉表示的谱理论，以及不可数多个具有两两不相交支集的独立、无原子拉赫曼测度的存在性。