[论文解读] A class of simple weight Virasoro modules

Genqiang Liu, Rencai Lü+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文通过从有限维可解李代数 $\mathfrak{a}_r$（$r \geq 1$）上的不可约模 $M$ 诱导，构造了一类新的简单权 Virasoro 模，记为 $\mathcal{N}(M,\alpha)$。关键结果是给出了模为简单模及同构的充要条件，从而得到无穷多个新的不可约权与非权 Virasoro 模，包括在 $\mathbb{C}[x] \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 上的显式例子，以及通过 twisting 构造的非权模。

ABSTRACT

For a simple module $M$ over the positive part of the Virasoro algebra (actually for any simple module over some finite dimensional solvable Lie algebras $\mathfrak{a}_r$) and any $α\in\C$, a class of weight modules $\mathcal {N}(M, α)$ over the Virasoro algebra are constructed. The necessary and sufficient condition for $\mathcal {N}(M, \a)$ to be simple is obtained. We also determine the necessary and sufficient conditions for two such irreducible Virasoro modules to be isomorphic. Many examples for such irreducible Virasoro modules with different features are provided. In particular the irreducible weight Virasoro modules $Γ(α_1, α_2, λ_1, λ_2)$ are defined on the polynomial algebra $\C[x]\otimes \C[t, t^{-1}]$ for any $α_1, α_2, λ_1, λ_2\in\C$ with $λ_1$ or $λ_2$ nonzero. By twisting the weight modules $\mathcal {N}(M, α)$ we also obtain nonweight simple Virasoro modules $\mathcal {N}(M, β)$ for any $β\in\C[t,t^{-1}]$.

研究动机与目标

• 构造一类具有无限维权空间的新不可约权 Virasoro 模。
• 为这类模为简单模提供充要条件，并对其同构类进行分类。
• 通过 twisting 将构造推广至不可约非权 Virasoro 模。
• 证明新模与任何已知的不可约 Virasoro 模均不互相同构。
• 在多项式代数上提供此类模的显式实现，包括 $\\Gamma(\alpha_1,\alpha_2,\lambda_1,\lambda_2)$。

提出的方法

• 通过作用 $d_m(v \otimes t^n) = \left(\alpha + n + \sum_{i=0}^r \frac{m^{i+1}}{(i+1)!} \bar{d}_i\right)v \otimes t^{n+m}$，在 $\mathcal{N}(M,\alpha) = M \otimes \mathbb{C}[t^{\pm 1}]$ 上定义 Virasoro 模结构，其中 $c$ 作用为零。
• 通过验证李括号关系，特别是换位子 $[d_m, d_k]$，证明 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 是 Virasoro 模。
• 利用 $M$ 的不可约性及 $d_i$ 算子的作用，证明当 $M$ 是 $\mathfrak{a}_r$-模的无限维不可约模且 $r \geq 1$ 时，$\mathcal{N}(M,\alpha)$ 是简单模。
• 利用算子 $\omega_{l,m}^{(2r+2)}$ 区分新模与已知模，证明其在非零向量上作用非零。
• 通过 $\beta \in \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 对权模进行 twisting，构造非权模 $\mathcal{N}(M,\beta)$，并保持其不可约性。
• 将新模与已知族比较：中间系列、张量积、Whittaker 模与 Weyl 模，通过不同算子作用证明其不互相同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 构造的模 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 在什么条件下是 Virasoro 代数上的简单模？
• RQ2 何时两个此类模 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 与 $\mathcal{N}(M',\alpha')$ 作为 Virasoro 模同构？
• RQ3 新构造的权模 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 是否同构于任何已知的具有无限维权空间的不可约 Virasoro 模？
• RQ4 该构造能否推广至不可约非权 Virasoro 模？若能，这些模是否为新模？
• RQ5 新模 $\mathcal{N}(M,\beta)$ 是否满足与已知非权模（如 [LZ]、[MW] 或 [MZ3] 中的模）不同的算子恒等式？

主要发现

• 当且仅当 $M$ 是 $\mathfrak{a}_r$-模的无限维不可约模且 $r \geq 1$ 时，模 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 是简单模，其中 $\alpha \in \mathbb{C}$ 任意。
• 两个此类不可约模 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 与 $\mathcal{N}(M',\alpha')$ 同构当且仅当 $M \cong M'$ 作为 $\mathfrak{a}_r$-模且 $\alpha = \alpha'$。
• 不可约权 Virasoro 模 $\Gamma(\alpha_1,\alpha_2,\lambda_1,\lambda_2)$ 在 $\mathbb{C}[x] \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 上实现，当 $\lambda_1$ 或 $\lambda_2$ 非零时成立。
• 对任意 $\beta \in \mathbb{C}[t,t^{-1}]$，可构造不可约非权 Virasoro 模 $\mathcal{N}(M,\beta)$，且当 $\dim M > 1$ 且 $\beta \notin \mathbb{C}$ 时，其为新模。
• 新模 $\mathcal{N}(M,\beta)$ 与 [LZ]、[MW] 或 [MZ3] 中的已知非权模不互相同构，因为其在 $\omega_{l,m}^{(2r+2)}$ 算子作用下满足不同的恒等式。
• $\mathcal{N}(M,\beta)$ 上 $\omega_{l,m}^{(2r+2)}$ 的作用对所有非零向量均非零，而其在如 [MZ3] 或 [LZ] 中的已知模上恒为零，从而证明其不互相同构。