[论文解读] Irreducible Virasoro modules from irreducible Weyl modules

Rencai Lü, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文通过在微分算子代数 $\mathbb{C}[t,t^{-1},\frac{d}{dt}]$ 上的不可约 Weyl 模上使用扭变技术，构造了一类新的不可约非权 Virasoro 模。关键贡献在于对这些模的不可约性与同构条件的完整分类，包括在 $\mathbb{C}[x]$ 上引入一个新族 $\Omega(\lambda,b)$，并证明其与所有已知的不可约 Virasoro 模均不同构。

ABSTRACT

We use Block's results to classify irreducible modules over the differential operator algebra $\mathbb{C}[t,t^{-1}, \frac d{dt}]$. From this classification and using "the twisting technique" we construct a lot of new irreducible modules over the Virasoro algebra. These new irreducible Virasoro modules are generally not weight modules. We determine the necessary and sufficient conditions for two such irreducible Virasoro modules to be isomorphic. Many examples for such irreducible Virasoro modules with different features are provided at the end of the paper. In particular the class of irreducible Virasoro modules $Ω(λ, b)$ are defined on the polynomial algebra $\mathbb{C}[x]$.

研究动机与目标

• 使用 Block 的结果对 $\mathbb{C}[t,t^{-1},\frac{d}{dt}]$ 上的不可约模进行分类。
• 通过将扭变技术应用于不可约 Weyl 模，构造一类新的不可约非权 Virasoro 模。
• 确定此类扭变模为不可约的必要与充分条件。
• 建立所构造的不可约 Virasoro 模的同构判别准则。
• 证明新模 $A_b$ 与任何已知的不可约 Virasoro 模（包括由诱导模和 Whittaker 型构造的模）均不同构。

提出的方法

• 利用 Block 对 $\mathbb{C}[t,t^{-1},\frac{d}{dt}]$ 上不可约模的分类，识别出那些关于 $\mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 和 $\mathbb{C}[\partial]$ 均无挠的不可约模 $A$。
• 对这样的 $A$ 应用参数 $b \in \mathbb{C}$ 的扭变技术，通过在洛朗多项式上的微分算子定义 $d_k$ 的作用，构造 Virasoro 模 $A_b$。
• 通过公式定义 Virasoro 生成元 $d_k$ 在单项式 $t^r \partial^s$ 上的作用：$d_k \cdot (t^r \partial^s) = (rt^{k+r} + bkt^{k+r+1})\partial^s + t^{k+r+1}\partial^{s+1}$，并在 $s = n-1$ 时考虑特殊情况。
• 通过分析 $d_k$ 的作用并证明在 $A$ 满足导出条件且 $b \neq 1$ 时不存在非平凡真子模，从而确立 $A_b$ 的不可约性。
• 证明两个此类模 $A_b$ 与 $A'_b$ 同构当且仅当它们的底层 $\mathcal{K}$-模同构且 $b$ 相同。
• 基于无挠性与微分算子关系的反证法，证明 $A_b$ 与已知模如 $\mathrm{Ind}_\theta(N)$ 和 $\mathrm{Ind}_{\theta,z}(\mathbb{C}_{\mathbf{m}})$ 不同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $b \in \mathbb{C}$，扭变 Virasoro 模 $A_b$ 在何种条件下是不可约的？
• RQ2 何时两个此类扭变模 $A_b$ 与 $A'_b$ 作为 Virasoro 模同构？
• RQ3 在 $\mathbb{C}[x]$ 上的新模 $\Omega(\lambda,b)$ 是否同构于任何已知的不可约 Virasoro 模？
• RQ4 扭变模 $A_b$ 是否可能同构于诱导模 $\mathrm{Ind}_\theta(N)$ 或 $\mathrm{Ind}_{\theta,z}(\mathbb{C}_{\mathbf{m}})$？
• RQ5 哪些结构性质使新模 $A_b$ 与现有不可约非权 Virasoro 模相区别？

主要发现

• 当且仅当底层 $\mathcal{K}$-模 $A$ 不可约且 $b \neq 1$ 时，扭变模 $A_b$ 不可约，其作用通过洛朗多项式上的微分算子定义。
• 两个此类不可约模 $A_b$ 与 $A'_b$ 同构当且仅当它们的底层 $\mathcal{K}$-模同构且 $b$ 相同。
• 不可约 Virasoro 模族 $\Omega(\lambda,b)$ 在 $\mathbb{C}[x]$ 上定义，其中 $\lambda \in \mathbb{C}^*$ 且 $b \in \mathbb{C}$，其显式作用由扭变构造导出。
• $A_b$ 与任何 $\mathrm{Ind}_\theta(N)$（$N \in \mathfrak{V}_+\text{-mod}$ 不可约）均不同构，原因在于 $d_k$ 在大 $k$ 时的零化条件不同。
• $A_b$ 与 $\mathrm{Ind}_{\theta,z}(\mathbb{C}_{\mathbf{m}})$（见 [MW]）不同构，因为后者在 $d_2, d_3, d_4$ 上满足特定线性关系，而 $A_b$ 无法满足这些关系而不与无挠性矛盾。
• 通过结构与无挠性论证，证明新模 $A_b$ 与所有先前已知的不可约 Virasoro 模（包括 Whittaker 型与诱导模）均不同构。