[论文解读] A closed model structure for $n$-categories, internal $Hom$, $n$-stacks and generalized Seifert-Van Kampen

Carlos Simpson|ArXiv.org|Apr 10, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 36

一句话总结

本文在 $n$-预范畴（$n$-precats）上建立了闭模型结构——即定义在 $\Delta^n$ 商集上的预层，满足某种常数性条件——从而实现了对 $n$-神经复形的内部 $\underline{Hom}$ 的定义。利用此结构，本文构造了 $n$-范畴的 $(n+1)$-神经复形，并证明了关于 Poincaré $n$-群胚的广义 Seifert–van Kampen 定理，将非交换上同调与范畴的上向粘合（pushout）联系起来。

ABSTRACT

We define a closed model category containing the $n$-nerves defined by Tamsamani, and admitting internal $Hom$. This allows us to construct the $n+1$-category $nCAT$ by taking the internal $Hom$ for fibrant objects. We prove a generalized Seifert-Van Kampen theorem for Tamsamani's Poincaré $n$-groupoid of a topological space. We give a still-speculative discussion of $n$-stacks, and similarly of comparison with other possible definitions of $n$-category.

研究动机与目标

• 为 $n$-神经复形 $A$ 和 $B$ 定义内部 $\underline{Hom}(A,B)$，使其本身也是一个 $n$-神经复形，从而实现所有 $n$-神经复形的 $(n+1)$-神经复形 $nCAT$ 的构造。
• 通过闭模型范畴的同伦框架，解决严格态射在捕捉高阶上同调类（如 $H^n(G,V)$）时的不足。
• 通过证明 $\Pi_n(X)$ 关于开覆盖 $X = U \cup V$ 同构于 $\Pi_n(U)$、$\Pi_n(V)$ 和 $\Pi_n(U\cap V)$ 的范畴上向粘合，将 Seifert–van Kampen 定理推广至 $n$-范畴。
• 为纤维化 $n$-预范畴 $A$ 定义非交换上同调 $H(X,A) := \mathrm{Hom}(\Pi_n(X), A)$，并利用广义 Seifert–van Kampen 定理证明其满足 Mayer–Vietoris 性质。

提出的方法

• 将 $n$-预范畴定义为 $\Theta^n$ 上的预层（$\Theta^n$ 是 $\Delta^n$ 的商），满足常数性条件，构成一个在极限和内部 $\underline{Hom}$ 下封闭的范畴 $PC_n$。
• 通过范畴化函子 $Cat(-)$ 定义 $n$-预范畴之间的弱等价性，要求 $Cat(A) \to Cat(B)$ 是 Tamsamani 意义下的 $n$-神经复形的外等价。
• 在 $PC_n$ 上构造闭模型结构，其中纤维化为单射（不包括最高维的单射性），纤维对象由提升性质定义。
• 采用 Jardine–Joyal 的方法处理单纯预层，证明沿平凡纤维化的上向粘合仍是平凡纤维化，从而实现模型结构。
• 通过归纳方式定义 Poincaré $n$-范畴函子 $\Upsilon_n$：$\Upsilon_0(X)$ 为从点到 $X$ 的同伦映射类，更高阶定义为 $\Upsilon_n(X)_{m/} := \Upsilon_{n-1}(U_m)$，其中 $U_m$ 是一个纤维化单纯对象。
• 将该构造应用于 $X = \Pi_n(U) \cup_{\Pi_n(U\cap V)} \Pi_n(V)$，从而导出广义 Seifert–van Kampen 定理作为范畴上向粘合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $n$-神经复形定义一个内部 $\underline{Hom}$，使其取值于 $n$-神经复形，从而实现所有 $n$-神经复形的 $(n+1)$-神经复形 $nCAT$ 的构造？
• RQ2 为何严格态射不足以捕捉如 $H^n(G,V)$ 这类高阶上同调类？同伦方法如何解决此问题？
• RQ3 空间 $X$ 的 Poincaré $n$-群胚 $\Pi_n(X)$ 是否可分解为开覆盖 $X = U \cup V$ 下的范畴上向粘合，从而推广经典 Seifert–van Kampen 定理？
• RQ4 能否通过 $\mathrm{Hom}(\Pi_n(X), A)$ 定义非交换上同调 $H(X,A)$，且其是否满足 Mayer–Vietoris 性质？

主要发现

• 在 $n$-预范畴范畴上构造了闭模型结构，其中纤维化为单射，弱等价性由 Tamsamani 的 $n$-神经复形函子 $Cat(-)$ 定义。
• 对于纤维化 $n$-预范畴 $A$ 和 $B$，其内部 $\underline{Hom}(A,B)$ 定义良好，且结果为一个 $n$-神经复形，从而实现了所有 $n$-神经复形的 $(n+1)$-神经复形 $nCAT$ 的构造。
• 广义 Seifert–van Kampen 定理成立：$\Pi_n(X)$ 同构于 $\Pi_n(U)$、$\Pi_n(V)$ 和 $\Pi_n(U\cap V)$ 沿其交集的范畴上向粘合。
• 由于 $\Pi_n(X)$ 的上向粘合结构，非交换上同调 $H(X,A) := \mathrm{Hom}(\Pi_n(X), A)$ 满足 Mayer–Vietoris 性质。
• Poincaré $n$-范畴函子 $\Upsilon_n$ 通过归纳方式定义，且保持弱等价性和乘积，推广了 Tamsamani 对 $Top$ 的 $\Pi_n$ 构造。
• 该构造表明，除非满足额外条件（如保持上向粘合），$\Upsilon_n$ 不一定是同伦理论的等价，凸显了将其推广至所有 $n$-范畴理论的局限性。