[论文解读] A comparison between Caputo and Caputo-Fabrizio fractional derivatives for modelling Lotka-Volterra differential equations

Leila Eftekhari, Soleiman Hosseinpour+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2019

Fractional Differential Equations Solutions被引用 1

一句话总结

本文比较了在三维Lotka-Volterra系统建模中Caputo与Caputo-Fabrizio分数阶导数的应用，提出了一种基于Adams-Bashforth的新型数值方法来处理具有非奇异核的Caputo-Fabrizio算子。结果表明，分数阶导数的选择以及微分阶数显著影响系统的稳定性和动力学行为，其中在特定条件下，Caputo-Fabrizio方法可提供更优的数值稳定性。

ABSTRACT

We study distributed lag effects in three-dimensional Lotka-Volterra systems by applying the concept of fractional calculus. We derive a new numerical method that provides enhanced stability for the Caputo-Fabrizio operator based on Adams-Bashforth method, considering non-singular kernel in the definition of Caputo-Fabrizio operator. We investigate the stability conditions of this system with comparisons to the Caputo fractional derivative. Numerical results show that the type of differential operators and the value of orders significantly influence the stability of the numerical solution, and dynamics of the Lotka-Volterra system.

研究动机与目标

• 研究分数阶导数类型（Caputo与Caputo-Fabrizio）对三维Lotka-Volterra系统稳定性与动力学行为的影响。
• 开发一种专用于具有非奇异核的Caputo-Fabrizio分数阶导数的稳定数值方法。
• 分析分数阶导数阶数对系统长期行为与稳定性的影响。
• 在生态建模背景下，比较两种分数阶导数形式的数值性能与稳定性特性。

提出的方法

• 将Adams-Bashforth方法改进以处理Caputo-Fabrizio分数阶导数，确保在求解系统时保持数值稳定性。
• 在Caputo-Fabrizio定义中引入非奇异核，以在种群动力学中建模分布滞后效应。
• 推导一种新型数值格式，以保持Caputo-Fabrizio算子的稳定性，尤其适用于不同分数阶阶数的情况。
• 实施该数值方法，对三维Lotka-Volterra系统在Caputo与Caputo-Fabrizio两种形式下进行模拟。
• 对数值格式进行稳定性分析，以验证其在不同分数阶阶数下的收敛性与鲁棒性。
• 比较两种分数阶导数模型所得数值解，评估系统行为与稳定性方面的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维Lotka-Volterra系统中，选择Caputo或Caputo-Fabrizio分数阶导数如何影响数值解的稳定性？
• RQ2 在两种导数形式下，分数阶阶数的变化对系统动力学与长期行为有何影响？
• RQ3 改进的Adams-Bashforth方法是否能相比标准方法，为Caputo-Fabrizio算子提供更优的稳定性？
• RQ4 通过分数阶微积分建模的分布滞后效应如何影响该系统中捕食者-猎物种群的相互作用？
• RQ5 在使用Caputo与Caputo-Fabrizio导数时，系统轨迹在定性与定量上存在哪些差异？

主要发现

• 所提出的基于Adams-Bashforth方法的Caputo-Fabrizio导数在数值稳定性方面优于标准实现方法。
• 分数阶阶数显著影响Lotka-Volterra系统的稳定性与振荡行为，不同阶数下表现出明显不同的动力学特性。
• 分数阶导数类型（Caputo与Caputo-Fabrizio）导致解轨迹与收敛特性存在可测量的差异。
• Caputo-Fabrizio公式中的非奇异核能有效建模种群相互作用中的分布滞后效应。
• 数值模拟证实，导数类型与微分阶数均为决定系统稳定性与长期行为的关键因素。
• 所提出方法在测试的各类分数阶阶数下均保持稳定，表明其在具有记忆效应的生态建模中具有可靠性。