[论文解读] A comparison between two de Rham complexes in diffeology

Katsuhiko Kuribayashi|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过Čech–de Rham谱序列和两者之间的因子映射，比较了微分几何中的两个de Rham复形——原始Souriau de Rham复形与奇异de Rham复形。结果表明，无理环面 $T_{\theta}$ 的第一奇异de Rham上同调群同构于原始de Rham上同调与具有联络1-形式的流丛等价类群的直和，且完整的奇异de Rham上同调代数同构于原始上同调与由此类流丛生成的外代数的张量积。

ABSTRACT

There are two de Rham complexes in diffeology. The original one is due to Souriau and the other one is the singular de Rham complex defined by a simplicial differential graded algebra. We compare the first de Rham cohomology groups of the two complexes within the Čech--de Rham spectral sequence by making use of the {\it factor map} which connects the two de Rham complexes. As a consequence, it follows that the singular de Rham cohomology algebra of the irrational torus $T_θ$ is isomorphic to the tensor product of the original de Rham cohomology and the exterior algebra generated by a non-trivial flow bundle over $T_θ$.

研究动机与目标

• 比较微分几何中原始Souriau de Rham复形与奇异de Rham复形的第一de Rham上同调群。
• 利用因子映射与Čech–de Rham谱序列，理解这两个复形在几何与上同调上的差异。
• 研究无理环面 $T_{\theta}$ 的奇异de Rham上同调代数的结构，特别是其与流丛的关系。
• 阐明尽管无理环面 $T_{\theta}$ 与标准环面 $\mathbb{T}^2$ 同伦类型相似，为何其奇异de Rham上同调仍存在差异。

提出的方法

• 本文使用Čech–de Rham谱序列比较两个de Rham复形的上同调。
• 通过微分分次代数之间的同态 $\alpha: \Omega(X) \to A(X)$，即因子映射，关联原始与奇异de Rham复形。
• 通过谱序列的边缘映射及其在上同调上的诱导映射（特别是第二度数）进行分析。
• 证明依赖于在假设 $H^1(A(F)) = 0$（其中 $F$ 为纤维）下边缘映射的单射性。
• 利用图的生成族与在微分几何空间的单纯复形上的幺半群作用，构造谱序列。
• 通过使用图的多重集与幺半群同态 $\pi'$，将全空间与基空间的谱序列关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在微分几何中，原始与奇异de Rham复形的第一de Rham上同调群如何比较？
• RQ2 在非流形或非单连通空间中，这两个复形上同调差异的几何根源是什么？
• RQ3 为何无理环面 $T_{\theta}$ 的奇异de Rham上同调包含标准环面 $\mathbb{T}^2$ 中不存在的非平凡流丛分量？
• RQ4 因子映射 $\alpha$ 在一般情况下为何不是拟同构？这对上同调结构意味着什么？
• RQ5 Čech–de Rham谱序列如何检测到 $T_{\theta}$ 上同调中非平凡流丛的存在？

主要发现

• 第一奇异de Rham上同调群 $H^1(A(T_{\theta}))$ 同构于原始de Rham上同调 $H^1(\Omega(T_{\theta})) \cong \mathbb{R}$ 与具有联络1-形式的 $T_{\theta}$ 上流丛等价类群的直和。
• 完整的奇异de Rham上同调代数 $H^*(A(T_{\theta}))$ 同构于原始de Rham上同调代数与由 $T_{\theta}$ 上非平凡流丛生成的外代数的张量积。
• 当 $H^1(A(F)) = 0$ 时，边缘映射 $H^2(A(X)) \to \check{H}^2(X)$ 是单射，该条件对纤维为 $\mathbb{R}$ 的无理环面丛成立。
• 谱序列分析表明，若基空间 $M$ 上 $\Omega$-复形的 $d_2$ 非平凡，则除非 $H^1(\Omega(M))$ 非零，否则将导致矛盾；而 $T_{\theta}$ 的情况并非如此，从而确认了新上同调类的存在。
• 无理环面 $T_{\theta}$ 的奇异de Rham上同调作为代数同构于 $\mathbb{T}^2$ 的上同调，但 $H^*(A(T_{\theta}))$ 中存在非平凡流丛分量，而 $H^*(A(\mathbb{T}^2))$ 中此类丛因纤维的可缩性而平凡，故两者可区分。
• 因子映射 $\alpha$ 在任意微分几何空间 $X$ 上诱导一个单射 $H^1(\Omega(X)) \to H^1(A(X))$，且在 $T_{\theta}$ 上该单射是严格的，表明奇异复形检测到了原始复形中不可见的额外上同调结构。