[论文解读] The homotopy theory of diffeological spaces

J. Daniel Christensen, Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 27

一句话总结

本文通过光滑奇异单纯集构造，为微分空间建立了同伦理论，表明纤维化微分空间通过其单纯同伦群捕捉了光滑同伦数据。该理论推广了经典流形的光滑同伦理论，并扩展了Iglesias-Zemmour的微分丛理论，证明了流形的环路空间是纤维化的，并提供了函子性纤维化余逼近。

ABSTRACT

Diffeological spaces are generalizations of smooth manifolds. In this paper, we study the homotopy theory of diffeological spaces. We begin by proving basic properties of the smooth homotopy groups that we will need later. Then we introduce the smooth singular simplicial set $S^D(X)$ associated to a diffeological space $X$, and show that when $S^D(X)$ is fibrant, it captures smooth homotopical properties of $X$. Motivated by this, we define $X$ to be fibrant when $S^D(X)$ is, and more generally define cofibrations, fibrations and weak equivalences in the category of diffeological spaces using the smooth singular simplicial set functor. We conjecture that these form a model category structure, but in this paper we assume little prior knowledge of model categories, and instead focus on concrete questions about smooth manifolds and diffeological spaces. We prove that our setup generalizes the naive smooth homotopy theory of smooth manifolds by showing that a smooth manifold without boundary is fibrant and that for fibrant diffeological spaces, the weak equivalences can be detected using ordinary smooth homotopy groups. We also show that our definition of fibrations generalizes Iglesias-Zemmour's theory of diffeological bundles. We prove enough of the model category axioms to show that every diffeological space has a functorial cofibrant replacement. We give many explicit examples of objects that are cofibrant, not cofibrant, fibrant and not fibrant, as well as many other examples showing the richness of the theory. For example, we show that the free loop space of a smooth manifold is fibrant. One of the implicit points of this paper is that the language of model categories is an effective way to organize homotopical thinking, even when it is not known that all of the model category axioms are satisfied.

研究动机与目标

• 为微分空间发展一种同伦理论，使其推广流形的光滑同伦理论。
• 通过光滑奇异单纯集函子定义纤维化、余纤维化及弱等价的微分空间。
• 在类似模型范畴的框架下，扩展Iglesias-Zemmour的微分丛理论。
• 证明无边界的光滑流形是纤维化的，并且其同伦群可检测弱等价。
• 提供纤维化与非纤维化空间的显式例子，包括环路空间与商空间。

提出的方法

• 将光滑奇异单纯集 $ S^D(X) $ 定义为从非紧致 $ n $-单纯形 $ Δ^n $ 到微分空间 $ X $ 的光滑映射的集合，构成一个单纯集。
• 将纤维化微分空间定义为使得 $ S^D(X) $ 在单纯集的标准模型结构中为纤维化的空间。
• 通过光滑奇异函子定义弱等价与纤维化，推广光滑流形与丛的古典概念。
• 利用单纯集的模型范畴语言定义余纤维化与余纤维化余逼近，证明函子性余纤维化余逼近的存在性。
• 应用链式法则并计算偏导数，分析进入非负实值函数的光滑映射，由此导出矛盾，证明非纤维化性。
• 利用光滑收缩与商微分结构，证明像 $ \mathbb{R}^{\geq 0} \times \mathbb{R}^n $、$ \mathbb{R}^n / O(n) $ 以及有限群作用下的轨道空间等空间不是纤维化的。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑奇异单纯集 $ S^D(X) $ 何时能捕捉微分空间 $ X $ 的光滑同伦群？
• RQ2 无边界的光滑流形在所提出的同伦理论中是否为纤维化？
• RQ3 所提出的框架是否推广了Iglesias-Zemmour的微分丛理论？
• RQ4 纤维化微分空间之间的弱等价能否通过普通光滑同伦群检测？
• RQ5 哪些商空间或奇异空间不是纤维化的，原因是什么？

主要发现

• 无边界的光滑流形是纤维化的，且对这些空间而言，弱等价可由普通光滑同伦群检测。
• 光滑流形的自由环路空间与基于环路空间均为纤维化微分空间。
• 光滑奇异单纯集 $ S^D(X) $ 是纤维化的，当且仅当其单纯同伦群与 $ X $ 的光滑同伦群一致，此结论由定理4.11证明。
• 包含 $ \mathbb{R}^{\geq 0} \times \mathbb{R}^n $ 作为 $ D $-开子集的空间，如带边或角的流形，均非纤维化。
• 轨道空间 $ \mathbb{R}^n / O(n) $，微分同胚于 $ [0,\infty) $ 并赋予特定微分结构，是非纤维化的。
• 余极限 $ X_\infty = \varinjlim X_n $，其中 $ X_n = \mathbb{R}^n / O(n) $，是非纤维化的，且其微分结构不同于 $ \mathbb{R} $ 的子微分结构。