[论文解读] A Computational Approach to Multistationarity in Poly-PL Kinetic Systems

Daryl M. Magpantay, Bryan S. Hernandez+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2020

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文提出一种计算方法，通过STAR-MSC变换将多幂律动力系统（PYK）转化为动力等价的幂律动力系统（PLK），从而确定其多重稳态容量。在经变换的PLK系统上应用多重稳态算法（MSA），该方法表明：若PLK系统在某一化学计量类中存在多个正平衡点，则原始PYK系统亦然，从而实现对具有非质量作用动力学的复杂生化网络的更广泛分析。

ABSTRACT

One important question that interests those who work in chemical reaction network theory (CRNT) is this: Does the system obtained from a reaction network admit a positive equilibrium and if it does, can there be more than one within a stoichiometric class? The higher deficiency algorithm (HDA) of Ji and Feinberg provided a method of determining the multistationarity capacity of a CRN with mass action kinetics (MAK). An extension of this, called Multistationarity Algorithm (MSA), recently came into the scene tackling CRNs with power law kinetics (PLK), a kinetic system which is more general (having MAK systems as a special case). For this paper, we provide a computational approach to study the multistationarity feature of reaction networks endowed with kinetics which are non-negative linear combinations of power law functions called poly-PL kinetics (PYK). The idea is to use MSA and combine it with a transformation called STAR-MSC (i.e., $S$-invariant Termwise Addition of Reactions via Maximal Stoichiometric Coefficients) producing PLKs that are dynamically equivalent to PYKs. This leads us to being able to determinine the multistationarity capacity of a much larger class of kinetic systems. We show that if the transformed dynamically equivalent PLK system is multistationary for a stoichiometric class for a set of particular rate constants, then so is its original corresponding PYK system. Moreover, the monostationarity property of the transformed PLK system also implies the monostationarity property of the original PYK system.

研究动机与目标

• 解决具有多幂律动力学（PYK）的化学反应网络是否能在单一化学计量类中容纳多个正平衡点的挑战。
• 将适用于幂律动力学（PLK）的多重稳态算法（MSA）扩展至更一般的多幂律动力系统类别。
• 开发一种变换——STAR-MSC——从PYK系统生成一个动力等价的PLK系统，同时保持多重稳态特性。
• 提供一个计算框架，以实现对具有非质量作用动力学的复杂生化网络中多重稳态容量的分析。
• 建立在变换后的PLK系统中多重稳态可推出原始PYK系统中多重稳态的条件。

提出的方法

• 应用STAR-MSC（基于最大化学计量系数的S-不变反应逐项相加）变换，将PYK系统转换为具有相同化学计量子空间的动力等价PLK系统。
• 在变换后的PLK系统上应用多重稳态算法（MSA），以评估其在不同化学计量类中的多重稳态容量。
• 利用原始PYK系统的正平衡点同时也是其变换后PLK系统的平衡点（对应速率常数下）的事实。
• 求解化学计量矩阵 $ L_{ ext{R}} $ 的核，以识别满足平衡条件 $ oldsymbol{eta}^T L_{ ext{R}} = 0 $ 的速率常数向量 $ oldsymbol{eta} $。
• 对每个反应物复合物 $ y $，计算指数项 $ e^{T_{.y} oldotp oldsymbol{ u}} $，其中 $ T_{.y} $ 为动力学阶矩阵的列，以评估变换后的速率常数。
• 验证在平衡点处，加权反应向量 $ oldsymbol{eta}^T (y' - y) $ 和 $ oldsymbol{eta}^T (e^{T_{.y} oldcdot oldsymbol{ u}} (y' - y)) $ 的和均消失，从而确认多重稳态。

实验结果

研究问题

• RQ1 多幂律动力系统（PYK）是否能在单一化学计量类中容纳多个正平衡点？
• RQ2 在STAR-MSC变换下，PYK系统的多重稳态容量是否与其中动态等价的PLK系统相对应？
• RQ3 在何种条件下，变换后PLK系统的单稳态可推出原始PYK系统的单稳态？
• RQ4 如何通过向PLK系统转化，将多重稳态算法（MSA）扩展至分析PYK系统？
• RQ5 动力学阶矩阵和向量 $ oldsymbol{ u} $ 在确定PYK系统中平衡构型方面起什么作用？

主要发现

• 通过STAR-MSC变换得到的PLK系统保留了原始PYK系统的多重稳态容量，从而可将MSA应用于PYK网络。
• 在示例系统中，系统存在两个不同的正平衡点：$ c^* = (3.1640, 0.5820) $ 和 $ c^{**} = (1.1640, 1.5820) $，证实了多重稳态的存在。
• MSA推导出的速率常数同时满足化学计量与动力学平衡条件，即 $ oldsymbol{eta}^T L_{ ext{R}} = 0 $ 与 $ oldsymbol{eta}^T (e^{T_{.y} oldcdot oldsymbol{ u}} (y' - y)) = 0 $。
• 该方法证实：若变换后的PLK系统在所有化学计量类中均为单稳态，则原始PYK系统亦为单稳态。
• 该变换确保了动力等价性，即在对应速率常数下，PYK系统与其PLK实现具有相同的正平衡点集合。
• 该方法使计算分析扩展至质量作用定律和标准PLK系统之外的更广泛生化网络的多重稳态。