[论文解读] A conforming discontinuous Galerkin finite element method: Part II

Xiu Ye, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用 15

一句话总结

本论文通过引入一种新型的高阶多项式逼近弱梯度算子 ∇w，将符合的间断伽辽金（DG）有限元方法扩展至一般多胞形网格。该方法在不使用稳定化或罚函数项的情况下，实现了离散 H¹ 和 L² 范数下的最优收敛率，为非结构化多边形/多面体网格上的二阶椭圆问题提供了简单、稳定且灵活的公式化方法。

ABSTRACT

A conforming discontinuous Galerkin (DG) finite element method has been introduced in [21] on simplicial meshes, which has the flexibility of using discontinuous approximation and the simplicity in formulation of the classic continuous finite element method. The goal of this paper is to extend the conforming DG finite element method in \cite{cdg1} so that it can work on general polytopal meshes by designing weak gradient $ abla_w$ appropriately. Two different conforming DG formulations on polytopal meshes are introduced which handle boundary conditions differently. Error estimates of optimal order are established for the corresponding conforming DG approximation in both a discrete $H^1$ norm and the $L^2$ norm. Numerical results are presented to confirm the theory.

研究动机与目标

• 将原本针对单纯形网格开发的符合 DG 有限元方法，扩展至一般多胞形网格。
• 在保持弱伽辽金公式 (5) 简洁性的同时，确保在非结构化多边形/多面体单元上实现最优收敛。
• 通过精心设计使用高阶多项式的弱梯度算子 ∇w，消除对稳定化或罚函数项的需求。
• 通过两种不同公式处理狄利克雷边界条件：强约束形式与弱约束形式。
• 为所得符合 DG 近似解在离散 H¹ 和 L² 范数下建立严格的误差估计。

提出的方法

• 在多胞形单元上引入一种新的弱梯度算子 ∇w，使用次数为 k+2 的多项式，以确保一致性和稳定性。
• 构建两种符合 DG 公式：一种采用强约束狄利克雷边界条件，另一种通过数值通量实现弱约束。
• 将离散问题表述为 (5)：(∇w u_h, ∇w v) = (f, v) 对所有 v 属于离散空间 V_h，模拟微分方程的弱形式。
• 在每个单元 T 上使用局部多项式空间 P_k(T)，并通过单元边界上的离散变分形式定义弱梯度。
• 确保方法在符合意义下保持一致，即离散解以强或弱方式满足边界条件。
• 利用提高 ∇w 的多项式次数不会改变刚度矩阵的全局稀疏性或规模这一事实，从而保持计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用稳定化或罚函数项的前提下，在一般多胞形网格上构造出具有最优收敛率的符合 DG 方法？
• RQ2 如何设计弱梯度算子 ∇w，使其在多胞形单元上使用高阶多项式时仍能保持一致性和稳定性？
• RQ3 当狄利克雷边界条件在多胞形网格上以强约束或弱约束方式施加时，符合 DG 方法的收敛特性如何？
• RQ4 所提方法是否在扩展其适用范围至单纯形网格之外的同时，保持了弱伽辽金公式的简洁性？
• RQ5 能否为新公式在多胞形网格上严格证明离散 H¹ 和 L² 范数下的最优误差估计？

主要发现

• 所提符合 DG 方法在离散 H¹ 范数下达到 k+1 阶最优收敛率，在 L² 范数下达到 k+2 阶最优收敛率，其中 k 为多项式次数。
• 数值实验验证了在三角形和多边形网格上，强约束与弱约束边界条件下的最优收敛性。
• 对于多边形网格上的 P₁ 单元，方法在 L² 范数下实现 2.00 的收敛率，在 H¹ 范数下实现 1.00 的收敛率，与理论预测一致。
• 对于多边形网格上的 P₃ 单元，方法在 L² 范数下实现 4.00 的收敛率，在 H¹ 范数下实现 2.99–3.01 的收敛率，证实了最优阶数。
• 即使弱梯度使用 j = k+2 次多项式计算，方法仍保持最优收敛，显示出鲁棒性与一致性。
• 由于无需稳定化或罚函数项，该方法在保持精度与稳定性的同时，实现了更简单、更高效的公式化，尤其适用于复杂多胞形网格。