[论文解读] A construction of admissible $A_1^{(1)}$-modules of level $-{4/3}$

Dražen Adamović|ArXiv.org|Jan 5, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文通过与有理格相关的广义顶点代数，显式构造了仿射李代数 $A_1^{(1)}$ 在水平 $-4/3$ 处的可允许模。通过利用格构造实现简单顶点算子代数 $L(-4/3ackslashLambda_0)$，并识别出与中心电荷 $c = -7$ 的 $ackslashmathcal{W}(2,5)$ 代数同构的子代数，作者证明了该 $ackslashmathcal{W}$-代数作为 $ackslashwidehat{su}(2)_{-4/3}$ WZW 模型的商代数构造，从而为对数表示提供了新的实现方式。

ABSTRACT

By using generalized vertex algebras associated to rational lattices, we construct explicitly the admissible modules for the affine Lie algebra $A_1 ^{(1)}$ of level $-{4/3}$. As an application, we show that the W(2,5) algebra with central charge c=-7 investigated in math.QA/0207155 is a subalgebra of the simple affine vertex operator algebra $L(-{4/3}Λ_0)$.

研究动机与目标

• 提供仿射李代数 $A_1^{(1)}$ 在水平 $-4/3$ 处不可约可允许模的显式构造。
• 利用有理格上的广义顶点代数实现简单顶点算子代数 $L(-4/3\Lambda_0)$。
• 将具有中心电荷 $c = -7$ 的 $ackslashmathcal{W}(2,5)$ 代数识别为 $L(-4/3\Lambda_0)$ 的子代数，将其与 $ackslashwidehat{su}(2)_{-4/3}$ WZW 模型的商代数构造联系起来。
• 证明在格构造中存在无穷多个非 $ackslashmathbb{Z}_{\geq 0}$-分次的不可约子模，揭示对数结构的存在。

提出的方法

• 从具有双线性型 $\langle \gamma, \gamma \rangle = -\langle \delta, \delta \rangle = 1/6$ 的有理格 $L = \mathbb{Z}(\gamma + \delta) + \mathbb{Z}(\gamma - \delta)$ 构造广义顶点代数 $V_L$。
• 定义筛子算子 $Q = e^{-6\gamma}_0$，并利用它识别 $V_L$ 中与 $L(-4/3\Lambda_0)$ 同构的子代数。
• 通过将生成元 $e, h, f$ 实现为顶点算子：$e = e^{3(\gamma - \delta)}$，$h = 4\delta(-1)$，$f = -\frac{2}{9}Qe^{3(\gamma + \delta)}$，在 $V_L$ 中识别出 $ackslashwidehat{su}(2)_{-4/3}$-模结构。
• 分析 $L(-4/3\Lambda_0)$ 的 $h(0)$-特征空间分解，将 $M^{(0)} = \ker_{L(-4/3\Lambda_0)} h(0)$ 识别为顶点算子子代数。
• 证明 $M^{(0)}$ 同构于 $\overline{M(1)} \cong \overline{M_\gamma(1)} \otimes M_\delta(1)$，其中 $\overline{M_\gamma(1)}$ 是中心电荷 $c = -7$ 的 $ackslashmathcal{W}(2,5)$ 代数。
• 建立商代数 $C(L(-4/3\Lambda_0), M_\delta(1))$ 同构于 $\overline{M_\gamma(1)}$，从而确认 $ackslashmathcal{W}(2,5)$ 代数作为商代数子代数的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过格顶点代数技术显式构造 $A_1^{(1)}$ 在水平 $-4/3$ 处的可允许模？
• RQ2 顶点算子代数 $L(-4/3\Lambda_0)$ 的结构是什么？它如何与有理格上的广义顶点代数相关联？
• RQ3 中心电荷 $c = -7$ 的 $ackslashmathcal{W}(2,5)$ 代数能否作为 $L(-4/3\Lambda_0)$ 的子代数实现？如果是，通过何种构造？
• RQ4 筛子算子 $Q = e^{-6\gamma}_0$ 在识别 $V_L$ 中不可约模和子代数时起到什么作用？
• RQ5 商代数构造 $C(L(-4/3\Lambda_0), M_\delta(1))$ 能否与已知的 $ackslashmathcal{W}$-代数识别？这对 $ackslashwidehat{su}(2)_{-4/3}$ 的表示理论有何含义？

主要发现

• 顶点算子代数 $L(-4/3\Lambda_0)$ 被实现为由双线性型 $\langle \gamma, \gamma \rangle = -\langle \delta, \delta \rangle = 1/6$ 的有理格构造的广义顶点代数 $V_L$ 的子代数。
• 由 $e = e^{3(\gamma - \delta)}$，$h = 4\delta(-1)$，$f = -\frac{2}{9}Qe^{3(\gamma + \delta)}$ 生成的 $V_L$ 的子代数同构于 $L(-4/3\Lambda_0)$，从而提供了可允许模的显式构造。
• $L(-4/3\Lambda_0)$ 的 $h(0)$-特征空间分解为 $L(-4/3\Lambda_0) = \bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} M^{(i)}$，其中每个 $M^{(i)}$ 是 $M^{(0)} = \ker_{L(-4/3\Lambda_0)} h(0)$ 上的单模。
• $M^{(0)} = \ker_{L(-4/3\Lambda_0)} h(0)$ 同构于 $\overline{M(1)} \cong \overline{M_\gamma(1)} \otimes M_\delta(1)$，其中 $\overline{M_\gamma(1)}$ 是中心电荷 $c = -7$ 的 $ackslashmathcal{W}(2,5)$ 代数。
• 商代数顶点算子代数 $C(L(-4/3\Lambda_0), M_\delta(1))$ 同构于 $\overline{M_\gamma(1)}$，从而确认具有 $c = -7$ 的 $ackslashmathcal{W}(2,5)$ 代数作为 $ackslashwidehat{su}(2)_{-4/3} / \widehat{u}(1)$ 的商代数构造。
• 该构造产生了无穷多个在 $V_L$ 中不可约但非 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-分次的子模，表明 $ackslashwidehat{su}(2)_{-4/3}$ 理论中存在对数表示。