[论文解读] A Construction of Complete Ricci-flat Kähler Manifolds

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 15

一句话总结

该论文通过证明当余法丛中的联络 $S \subset N_D^*$ 具有 Sasaki-Einstein 结构时，将准射影流形 $Y = X \setminus D$ 上完备 Ricci 平坦 Kähler 度量的存在性，从经典 Kähler-Einstein 条件推广到了更一般的情形。关键结果是：每个小的光滑形变的 toric Gorenstein 奇点都 admits 一个渐近于 Calabi ansatz 度量的完备 Ricci 平坦 Kähler 度量，推广了已知例子，并通过 Sasaki 几何提供了新的构造方法。

ABSTRACT

We consider an extension of the results of S. Bando, R. Kobyashi, G. Tian, and S. T. Yau on the existence of Ricci-flat Kähler metrics on quasi-projective varieties Y=X\D with α[D]=c_1(X), α>1. The requirement that D admit a Kähler-Einstein metric is generalized to the condition that the link S in the normal bundle of D admits a Sasaki-Einstein structure in the Sasaki-cone of the usual Sasaki structure provided the embedding D\subset X satisfies an additional holomorphic condition. If D is a toric variety, then S always admits a Sasaki-Einstein metric. As an application we prove that every small smooth deformation of a toric Gorenstein singularity admits a complete Ricci-flat Kähler metric asymptotic to a Calabi ansatz metric. Some examples are given which were not previously known.

研究动机与目标

• 将 $Y = X \setminus D$ 上完备 Ricci 平坦 Kähler 度量的存在性推广至 $D$ 不满足 Kähler-Einstein 条件的情形。
• 解决许多除数 $D$ 因几何与自同构障碍而无法满足 Kähler-Einstein 条件的局限性。
• 建立 $N_D^*$ 中联络 $S \subset N_D^*$ 具有 Sasaki-Einstein 结构的条件，从而实现 Ricci 平坦度量的构造。
• 证明每个 toric Gorenstein 奇点的小形变都 admits 一个渐近于 Calabi ansatz 度量的完备 Ricci 平坦 Kähler 度量。
• 利用 toric 与 Sasaki 几何技术，提供此前未知的 Calabi-Yau 流形的新例子。

提出的方法

• 使用 Sasaki-锥构造在联络 $S \subset N_D^*$ 上变化 Reeb 向量场，即使 $D$ 不是 Kähler-Einstein，也能实现 Sasaki-Einstein 结构。
• 在 $Y = X \setminus D$ 的无穷远邻域上应用 Calabi ansatz 度量构造，使用通过 $\omega = \frac{n}{\alpha-1} i\partial\bar{\partial} \|\sigma\|^{-2(\alpha-1)/n}$ 定义的 Kähler 度量，其中 $\sigma$ 是在 $D$ 上消失的截面。
• 引入一个沿 $D$ 有 $\alpha$ 阶极点的全纯 $n$-形式 $\Omega$，并通过求解 Monge-Ampère 方程来构造 Ricci 平坦度量。
• 要求对所有 $k \geq 2$，有 $H^1(D, \Theta_X \otimes \mathcal{O}(-kD)|_D) = 0$，以确保 $D$ 的形变理论无阻碍。
• 利用 toric 几何确保联络 $S$ 具有 Sasaki-Einstein 结构，借助多面体 $P$ 在对径映射下的对称性。
• 通过多面体的 Minkowski 分解构造例子，得到无限多族光滑化 $\hat{X}$，其上具有 Ricci 平坦度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $D$ 不满足 Kähler-Einstein 条件时，能否在 $Y = X \setminus D$ 上构造完备 Ricci 平坦 Kähler 度量？
• RQ2 在何种条件下，$N_D^*$ 中的联络 $S \subset N_D^*$ 具有 Sasaki-Einstein 结构，从而实现 Ricci 平坦度量的构造？
• RQ3 每个 toric Gorenstein 奇点的小形变是否都 admits 一个完备 Ricci 平坦 Kähler 度量？
• RQ4 $Y = X \setminus D$ 上度量的渐近行为能否用 Calabi ansatz 度量来描述？
• RQ5 该推广构造会产生哪些此前未知的 Calabi-Yau 流形的新例子？

主要发现

• 本文证明：若联络 $S \subset N_D^*$ 在标准结构的 Sasaki-锥中具有 Sasaki-Einstein 结构，则 $Y = X \setminus D$ 在 $H^2_c(Y, \mathbb{R})$ 的每个 Kähler 类中都 admits 一个完备 Ricci 平坦 Kähler 度量。
• 每个 toric Gorenstein 奇点的小形变都 admits 一个渐近于 Calabi ansatz 度量的完备 Ricci 平坦 Kähler 度量，将已知结果推广至 Kähler-Einstein 情形之外。
• 在无穷远邻域上，渐近度量 $\bar{g}$ 满足 $\nabla^j(g - \bar{g}) = O(\rho^{-2n + \delta - j})$（$j \leq k$），表明其与 Calabi ansatz 度量具有强收敛性。
• 通过对称多面体的 Minkowski 分解，构造了无限多族新的 Ricci 平坦 Kähler 流形，得到 toric 奇点的光滑化 $\hat{X}$。
• 该构造适用于所有联络 $S$ 均 admits Sasaki-Einstein 度量的 toric 算术，从而提供一大类新的例子。
• 实现了几何过渡 $\check{X} \leadsto X \leadsto \hat{X}$，其中 $\check{X}$ 是解析解消，$\hat{X}$ 是光滑化，二者均 admits Ricci 平坦度量。