[论文解读] A constructive approach to affine and projective planes

Achilleas Kryftis|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Manufacturing Process and Optimization参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于局部环而非域的仿射与射影平面的构造性方法，证明了在这些环上成立的德萨尔格定理与帕普斯定理。通过保持迹的同态从仿射平面构造局部环，并表明仿射与射影平面的分类拓扑是通过群作用对扎里斯基拓扑的扩张，揭示了深刻的几何与拓扑对偶性。

ABSTRACT

In classical geometric algebra, there have been several treatments of affine and projective planes based on fields. In this thesis we approach affine and projective planes from a constructive point of view and we base our geometry on local rings instead of fields. We start by constructing projective and affine planes over local rings and establishing forms of Desargues' Theorem and Pappus' Theorem which hold for these. From this analysis we derive coherent theories of projective and affine planes. The great Greek mathematicians of the classical period used geometry as the basis for their theory of quantities. The modern version of this idea is the reconstruction of algebra from geometry. We show how we can construct a local ring whenever we are given an affine or a projective plane. This enables us to describe the classifying toposes of our theories of affine and projective planes as extensions of the Zariski topos by certain group actions. Through these descriptions of the classifying toposes, the links between the theories of local rings, affine and projective planes become clear. In particular, the geometric morphisms between these classifying toposes are all induced by group homomorphisms even though they demonstrate complicated constructions in geometry. In this thesis, we also prove results in topos theory which are applied to these geometric morphisms to give Morita equivalences between some further theories.

研究动机与目标

• 开发一种基于局部环而非域的仿射与射影平面的构造性几何框架。
• 在构造性设定下，建立在局部环上成立的德萨尔格定理与帕普斯定理的版本，确保几何一致性。
• 仅通过位似、平移与保持迹的同态，从仿射平面的几何结构重构局部环。
• 将仿射与射影平面理论的分类拓扑描述为扎里斯基拓扑通过群作用的扩张，揭示其结构对偶性。
• 证明即使在几何结构复杂时，这些分类拓扑之间的几何态射也源于群同态。

提出的方法

• 利用关联结构与对偶性原理，在局部环上构造射影与仿射平面。
• 定义预射影与预仿射平面之间的态射，并建立其在环上提升为态射的条件。
• 引入位似与平移作为几何工具，通过保持迹的自同态定义局部环结构。
• 在扎里斯基拓扑中使用通用局部环构造坐标系，并将其与 $H$-挠子及群作用联系起来。
• 应用拓扑理论工具，包括戴亚科内斯库定理与 $χ[G]$ 拓扑的构造，分析分类拓扑。
• 通过群作用与挠子，建立 $χ$、$×𝔸𝔹$ 与 $×𝔸𝔺$ 之间的几何态射，证明涉及恒等态射的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 德萨尔格定理与帕普斯定理是否能以构造性方式在局部环上而非域上表述并证明？
• RQ2 如何仅通过关联与对称性数据，从仿射平面的几何结构重构局部环？
• RQ3 仿射平面的分类拓扑与通过群作用扩张的扎里斯基拓扑之间有何关系？
• RQ4 尽管存在对偶性，为何通用射影平面中点的对象与线的对象不彼此同构？
• RQ5 仿射与射影平面分类拓扑之间的几何态射如何源于群同态？

主要发现

• 德萨尔格定理与帕普斯定理在局部环上的射影与仿射平面上成立，且其构造性证明不依赖于域的假设。
• 仿射平面的局部环可构造为其中平移群的保持迹同态环，从而实现代数的几何重构。
• 仿射平面的分类拓扑等价于 $χ[G]$，其中 $G$ 是通用局部环的自同构群，且该拓扑是 $G$-挠子拓扑的切片。
• 射影平面的分类拓扑为 $χ[H]$，其中 $H$ 是射影变换群，且该拓扑通过扎里斯基拓扑上的 $H$-挠子构造而成。
• 在通用射影平面中，点的对象到线的对象不存在态射，二者也不同构，原因在于某些模型中全局截面的存在性不同。
• 分类拓扑 $χ[G]$、$×𝔸$ 与 $×𝔹$ 之间的几何态射 $f_{×𝔸}$ 与 $f_{×𝔹}$ 构成互逆同构，证明 $×𝔸$ 与 $×𝔹$ 通过拓扑扩张实现莫里塔等价。