[论文解读] A convenient category of locally stratified spaces

Stefano Nicotra|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 2

一句话总结

本文引入了一类新的局部分层空间——局部仿射于分层空间的局部分层空间——其构成一个局部可表示的、笛卡尔闭的范畴，并与单纯集范畴存在伴随关系。本文证明了该范畴中与∞-范畴相关的单纯集构成的全子范畴具有纤维对象结构，并证明了关于基本范畴与左覆盖的关键结果，包括基本范畴函子的满Essential性以及在适当条件下表示与左覆盖之间的等价性。

ABSTRACT

In this thesis we define the notion of a locally stratified space. Locally stratified spaces are particular kinds of streams and d-spaces which are locally modelled on stratified spaces. We construct a locally presentable and cartesian closed category of locally stratified spaces that admits an adjunction with the category of simplicial sets. Moreover, we show that the full subcategory spanned by locally stratified spaces whose associated simplicial set is an ∞-category has the structure of a category with fibrant objects. We define the fundamental category of a locally stratified space and show that the canonical functor θ_A from the fundamental category of a simplicial set A to the fundamental category of its realisation is essentially surjective. We show that the functor θ_A sends split monomorphisms to isomorphisms, in particular we show that θ_A is not necessarily an equivalence of categories. On the other hand, we show that the fundamental category of the realisation of the simplicial circle is equivalent to the monoid of the natural numbers. To conclude, we define left covers of locally stratified spaces and we show that, under suitable assumptions, the category of representations of the fundamental category of a simplicial set is equivalent to the category of left covers over its realisation.

研究动机与目标

• 定义一类局部仿射于分层空间的新型局部分层空间范畴。
• 构建一个局部可表示且笛卡尔闭的局部分层空间范畴。
• 在局部分层空间范畴与单纯集范畴之间建立伴随关系。
• 证明：与∞-范畴相关的单纯集构成的局部分层空间全子范畴，具备纤维对象范畴的结构。
• 定义局部分层空间的基本范畴，并分析其与关联单纯集的基本范畴之间的关系。

提出的方法

• 将局部分层空间定义为特定类型的流与d空间，其局部仿射于分层空间。
• 构建一个局部可表示且笛卡尔闭的局部分层空间范畴。
• 在局部分层空间范畴与单纯集范畴之间建立伴随关系。
• 证明：与∞-范畴相关的单纯集构成的局部分层空间全子范畴满足纤维对象范畴的公理。
• 定义局部分层空间的基本范畴，并分析从单纯集的基本范畴到其实现的局部分层空间的基本范畴的典范函子。
• 定义局部分层空间的左覆盖，并在适当假设下证明表示与左覆盖之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个既局部可表示又笛卡尔闭的局部分层空间范畴？
• RQ2 单纯集的基本范畴与其作为局部分层空间实现后的基本范畴之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，从单纯集的基本范畴到其实现的基本范畴的典范函子成为等价函子？
• RQ4 与∞-范畴相关的单纯集构成的局部分层空间全子范畴是否继承了纤维对象范畴的结构？
• RQ5 是否存在从单纯集的基本范畴的表示到其作为局部分层空间实现的左覆盖之间的范畴等价？

主要发现

• 局部分层空间范畴是局部可表示且笛卡尔闭的，从而支持强大的范畴论构造。
• 局部分层空间范畴与单纯集范畴之间存在伴随关系。
• 与∞-范畴相关的单纯集构成的局部分层空间全子范畴具备纤维对象范畴的结构。
• 从单纯集A的基本范畴到其实现的基本范畴的典范函子θ_A是本质满射。
• 函子θ_A将分裂单射映射为同构，尽管其不一定是范畴之间的等价。
• 单纯圆的实现的基本范畴与自然数加法下的幺半群等价。