[论文解读] The fundamental category of a stratified space

Jonathan Woolf|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 44

一句话总结

本文引入了分层空间的基本范畴，作为基本群丛的推广，专用于通过退出路径（不可逆地离开层的路径）对构造性层与余层进行分类。研究表明，对于具有局部0-和1-连通层的同伦分层集，基本范畴通过协变函子分类分层的étale覆叠，通过逆变函子分类分层的分支覆叠，恢复了MacPherson的结果，并在无需驯服性假设的条件下扩展了Treumann的退出路径范畴。

ABSTRACT

The fundamental groupoid of a locally 0 and 1-connected space classifies covering spaces, or equivalently local systems. When the space is topologically stratified Treumann, based on unpublished ideas of MacPherson, constructed an `exit category' (in the terminology of this paper, the `fundamental category') which classifies constructible sheaves, equivalently stratified etale covers. This paper generalises this construction to homotopically stratified sets, in addition showing that the fundamental category dually classifies constructible cosheaves, equivalently stratified branched covers. The more general setting has several advantages. It allows us to remove a technical `tameness' condition which appears in Treumann's work; to show that the fundamental groupoid can be recovered by inverting all morphisms and, perhaps most importantly, to reduce computations to the two stratum case. This provides an approach to computing the fundamental category in terms of homotopy groups of strata and homotopy links. We apply these techniques to compute the fundamental category of symmetric products of R^2, stratified by collisions. Two appendices explain the close relations respectively between filtered and pre-ordered spaces and between cosheaves and branched covers (technically locally-connected uniquely-complete spreads).

研究动机与目标

• 通过基于不重新进入层的退出路径定义新的不变量——基本范畴，将基本群丛推广至分层空间。
• 利用基本范畴上的协变与逆变函子，对同伦分层集上的构造性层与余层进行分类。
• 通过将所有态射局部化，证明基本群丛Π₁X是基本范畴的群丛化（groupoidification）。
• 将Treumann的退出1-范畴推广至更广泛的分层空间类，且无需对同伦施加驯服性条件。

提出的方法

• 通过同伦类的po-路径（相对于分层保持顺序的路径）定义预序空间（po-空间）X的基本范畴Π₁^po X。
• 限制于同伦分层集（Quinn的定义），其包含Whitney、Thom-Mather及Siebenmann的局部锥状空间，以确保良好的同伦行为。
• 使用同伦链构造将基本范畴的计算归约为两层情形，从而通过层与链的同伦群进行计算。
• 建立基本范畴上取值于集合的集合值函子的分类，表明其对应于通过其étale空间的构造性层。
• 对构造进行对偶化，表明逆变函子分类构造性余层，其几何上对应于通过Fox的完全展开（complete spreads）的分层分支覆叠。
• 证明基本群丛Π₁X通过将基本范畴在所有态射上局部化而恢复，表明其为Π₁^po X的群丛化。

实验结果

研究问题

• RQ1 当路径因层结构而不可逆时，如何将基本群丛推广至分层空间？
• RQ2 在同伦无驯服性假设的条件下，对构造性层进行分类的正确范畴不变量是什么？
• RQ3 能否在同一框架下将构造性层的分类扩展至余层与分支覆叠？
• RQ4 在具有局部连通层的同伦分层集中，基本范畴与基本群丛之间有何关系？
• RQ5 同伦链与层同伦群在计算基本范畴中起什么作用？

主要发现

• 对于具有局部0-和1-连通层的同伦分层集，其基本范畴Π₁^po X通过协变集合值函子分类构造性层。
• 基本范畴上的逆变集合值函子分类构造性余层，其几何实现通过Fox的完全展开对应于分层分支覆叠。
• 基本群丛Π₁X同构于基本范畴在所有态射上的局部化，表明其为Π₁^po X的群丛化。
• 基本范畴可通过层与链的同伦群计算，从而将一般情形归约为双层情形。
• 该构造恢复了MacPherson通过在每层上为局部同胚的覆叠对分层覆叠的分类。
• 该框架在不需同伦驯服性条件的前提下，扩展了Treumann的退出1-范畴，同时保持了对构造性层的分类能力。