[论文解读] A convenient category of supermanifolds

Alexander Alldridge|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文引入了一类基于函子化空间的新颖且便捷的超流形类别，使得无限维超流形（如映射与场的超流形——例如环路超群）能够实现全局构造，并为诱导表示与卷积代数提供了框架。核心贡献是狄克斯米耶–马利维安定理的超群版本：在卷积作用下，连续表示中的光滑向量等于加丁空间（Gårding space）。

ABSTRACT

With a view towards applications in the theory of infinite-dimensional representations of finite-dimensional Lie supergroups, we introduce a new category of supermanifolds. In this category, supermanifolds of `maps' and `fields' (fibre bundle sections) exist. In particular, loop supergroups can be realised globally in this framework. It also provides a convenient setting for induced representations of supergroups, allowing for a version of Frobenius reciprocity. Finally, convolution algebras of finite-dimensional Lie supergroups are introduced and applied to a prove a supergroup Dixmier-Malliavin Theorem: The space of smooth vectors of a continuous representation of a supergroup pair equals the Garding space given by the convolution with compactly supported smooth supergroup densities.

研究动机与目标

• 开发一个支持无限维对象（如映射空间与纤维丛截面）的超流形类别。
• 为环路超群的全局实现及有限维李超群的诱导表示提供框架。
• 建立紧支集光滑超群密度的卷积代数，以研究表示中的光滑向量。
• 证明狄克斯米耶–马利维安定理的超群类比，通过卷积刻画光滑向量为加丁空间。
• 在行为良好的范畴设定下，将弗罗贝尼乌斯互反律与维尔函子形式化推广至无限维超流形。

提出的方法

• 本文使用函子化空间——从局部模型范畴到拓扑空间上层的函子——将环层空间方法推广至无限维超流形。
• 将超流形定义为函子化空间的全子范畴，确保与有限维超流形的相容性，并支持内态射（映射空间）与纤维丛截面的构造。
• 通过维尔函子形式化定义李超群的李超代数，从而系统处理切对象与无穷小对称性。
• 在有限维李超群上构造卷积代数，使用紧支集光滑密度，其作用通过卷积积 $ f * g = ext{pr}_{13*}(f oxtimes g) $ 定义。
• 在 $ ext{C}_c^ty(G) $ 中构造一族逼近恒等式 $ ho_U o ho $，在分布空间中收敛，以逼近狄拉克函数并控制表示中的收敛性。
• 该形式化支持诱导表示的弗罗贝尼乌斯互反律，并可通过卷积刻画光滑向量为加丁空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个包含映射空间与纤维丛截面等无限维对象的便捷超流形类别？
• RQ2 所提出的类别是否支持环路超群及其他无限维超群作用的全局实现？
• RQ3 能否证明狄克斯米耶–马利维安定理的超群类比，通过紧支集光滑密度的卷积刻画光滑向量为加丁空间？
• RQ4 在此新类别中，如何为有限维超群的无限维表示形式化诱导表示与弗罗贝尼乌斯互反律？
• RQ5 能否定义并使用紧支集光滑超群密度的卷积代数来研究表示中的重数？

主要发现

• 函子化空间类别提供了一个行为良好的设定，使得映射与场的超流形（包括环路超群）作为内态射与纤维丛截面存在。
• 本文证明了狄克斯米耶–马利维安定理的超群类比：在超群对的连续表示中，光滑向量空间等于通过紧支集光滑超群密度卷积生成的加丁空间。
• 在 $ ext{C}_c^ty(G) $ 中构造的逼近恒等式族 $ ho_U o ho $ 在 $ ext{E}'(G) $ 中收敛，从而实现狄拉克函数的逼近并控制表示中的收敛性。
• 在该框架中弗罗贝尼乌斯互反律成立，支持对超群诱导表示的系统处理。
• 闭 $ G $-不变子空间与 $ V_lat $ 之间存在双射关系，对应于闭 $ G_0 $-不变子空间 $ U o V $ 且 $ U_lat $ 为 $ rak{g} $-不变，以及 $ ext{C}_c^ty(G) $-不变子空间，从而建立重数等价性。
• 卷积代数 $ ext{C}_c^ty(G) $ 作用于表示中，且 $ G $-表示中的重数研究等价于对超群对或卷积代数的相应问题的研究。