[论文解读] A convex data-driven approach for nonlinear control synthesis

Hyungjin Choi, Umesh Vaidya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种基于密度函数稳定性证书（与李雅普诺夫函数对偶）的凸、数据驱动方法，用于非线性控制综合。通过结合科波曼算子理论与平方和（SOS）优化，该方法将控制律与稳定性证书的联合设计问题转化为一个凸优化问题，仅依赖于采样轨迹即可实现，成功稳定了非多项式与混沌系统，如洛伦兹吸引子和具有多项式控制律的刚体动力学系统。

ABSTRACT

We consider a class of nonlinear control synthesis problems where the underlying mathematical models are not explicitly known. We propose a data-driven approach to stabilize the systems when only sample trajectories of the dynamics are accessible. Our method is founded on the density function based almost everywhere stability certificate that is dual to the Lyapunov function for dynamic systems. Unlike Lyapunov based methods, density functions lead to a convex formulation for a joint search of the control strategy and the stability certificate. This type of convex problem can be solved efficiently by invoking the machinery of the sum of squares (SOS). For the data-driven part, we exploit the fact that the duality results in the stability theory of the dynamical system can be understood using linear Perron-Frobenius and Koopman operators. This connection allows us to use data-driven methods developed to approximate these operators combined with the SOS techniques for the convex formulation of control synthesis. The efficacy of the proposed approach is demonstrated through several examples.

研究动机与目标

• 开发一种系统性框架，用于在非线性系统底层数学模型未知时进行数据驱动的控制综合。
• 解决传统基于李雅普诺夫函数方法中通常为非凸的联合控制器与稳定性证书设计挑战。
• 利用密度函数与李雅普诺夫函数之间的对偶性，实现在控制综合中的凸优化。
• 将数据驱动的科波曼算子逼近与平方和（SOS）技术相结合，实现可扩展且高效的控制器设计。
• 在基准非线性系统（包括洛伦兹系统与刚体动力学）上验证该方法的有效性，且对模型保真度要求极低。

提出的方法

• 该方法使用密度函数作为几乎处处稳定性证书，与李雅普诺夫函数对偶，从而实现联合控制器与证书搜索的凸公式化。
• 通过平方和（SOS）技术将控制综合问题表述为多项式上的凸优化问题，可通过半定规划求解。
• 利用科波曼算子框架将非线性动力学在提升空间中表示为线性形式，从而通过扩展动态模态分解（EDMD）实现数据驱动逼近。
• 从时间序列数据中逼近与科波曼算子对偶的庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯（Perron-Frobenius, P-F）算子，以建模在控制输入下概率密度的演化。
• 将基于EDMD的P-F算子逼近与基于SOS的凸优化相结合，从采样轨迹中合成多项式控制律。
• 通过选择多项式基函数表示控制律与稳定性证书，其参数在由P-F算子动力学导出的凸约束下进行优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系统模型未知但可获取采样轨迹时，能否构建一个用于非线性控制综合的凸优化框架？
• RQ2 如何利用密度函数与李雅普诺夫函数之间的对偶性，实现联合控制器与稳定性证书设计的凸性？
• RQ3 数据驱动的科波曼算子与庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯算子逼近在多大程度上可实现对非线性系统的有效控制综合？
• RQ4 该方法能否在低保真度模型下，使用多项式控制律稳定复杂非线性系统（如混沌洛伦兹吸引子与高维刚体动力学）？
• RQ5 当应用于非多项式动力学系统时，所得到的控制器在收敛性与鲁棒性方面的性能如何？

主要发现

• 所提方法成功稳定了非多项式摆动系统，采用三次控制律 $ u(x) = 0.1553x_1^3 - 1.9884x_1 $，在多种初始条件下均实现渐近稳定。
• 对于 $ \rho=28 $ 的洛伦兹系统，该方法合成了一条线性控制律 $ u(x) = -26.9591x_1 - 6x_2 $，有效将混沌轨迹稳定至原点。
• 具有六个状态与三个输入的刚体控制系统，通过一至三次多项式控制律实现稳定，表明该方法可扩展至高维系统。
• 所有测试案例中，合成控制下的轨迹均收敛至平衡点，而开环动力学则表现出混沌或不稳定行为。
• 该方法仅使用 $ 10^4 $ 个数据点与低次多项式基函数即实现可靠稳定，表明其对模型保真度要求极低。
• 凸公式化使得SOS求解器能够高效求解，证实该方法在中等维度系统中的计算可行性。