[论文解读] A counterexample to Beck's conjecture on the discrepancy of three permutations

Alantha Newman, Aleksandar Nikolov|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文通过递归构造在 $ n = 3^k $ 个元素上构建了三组排列的递归族，证明了这些排列所形成的区间集合系统的不和谐度为 $ \Omega(\log n) $，从而否定了贝克关于三组排列的不和谐度为 $ O(1) $ 的猜想。该结果还反驳了斯宾塞、斯里尼瓦桑和特塔利的推广猜想，表明一般情况下无法实现 $ O(\sqrt{\ell}) $ 的不和谐度。

ABSTRACT

Given three permutations on the integers 1 through n, consider the set system consisting of each interval in each of the three permutations. Jozsef Beck conjectured (c. 1987) that the discrepancy of this set system is O(1). We give a counterexample to this conjecture: for any positive integer n = 3^k, we exhibit three permutations whose corresponding set system has discrepancy Omega(log(n)). Our counterexample is based on a simple recursive construction, and our proof of the discrepancy lower bound is by induction. This example also disproves a generalization of Beck's conjecture due to Spencer, Srinivasan and Tetali, who conjectured that a set system corresponding to l permutations has discrepancy O(sqrt(l)).

研究动机与目标

• 否证约瑟夫·贝克（c. 1987）的猜想，即任意三组排列的不和谐度为 $ O(1) $。
• 在 $ n = 3^k $ 个元素上构造一组三组排列，其不和谐度为 $ \Omega(\log n) $。
• 反驳斯宾塞、斯里尼瓦桑和特塔利的推广猜想，即 $ \ell $ 组排列可实现 $ O(\sqrt{\ell}) $ 的不和谐度。
• 证明基于常数个排列所导出的集合系统不和谐度的现有上界是紧致的。

提出的方法

• 通过递归构造将基集 $[1, 3^k]$ 划分为三个相等的块 $ A, B, C $，并在三组排列中循环置换这些块。
• 在每一级递归中，每个块被进一步划分为三个大小相等的子块，并递归地应用相同的循环置换模式。
• 通过跟踪排列前缀和后缀上的着色和，采用基于块的着色贡献分解，以归纳法分析不和谐度。
• 基于块值之和 ($ a, b, c $) 进行情况分析，并对大小为 $ 3^{k-1} $ 的子问题应用归纳界。
• 通过引理建立全系统不和谐度的下界，该下界基于子问题的不和谐度和块贡献之和。
• 利用对称性，通过考虑着色的相反数，同时处理正负总着色和的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 由三组排列的所有区间构成的集合系统的不和谐度是否始终为 $ O(1) $，如贝克所猜想？
• RQ2 斯宾塞、斯里尼瓦桑和特塔利的推广猜想——即 $ \ell $ 组排列可实现 $ O(\sqrt{\ell}) $ 不和谐度——是否对所有 $ \ell $ 成立？
• RQ3 三组排列的最佳可能不和谐度下界是多少？是否可以达到 $ \Omega(\log n) $ ？
• RQ4 对于 $ \ell $ 组排列，$ O(\ell \log n) $ 和 $ O(\sqrt{\ell} \log n) $ 的上界是否紧致？

主要发现

• 对于每个 $ k > 0 $，该论文构造了在 $ n = 3^k $ 个元素上的三组排列，使得对应集合系统的不和谐度至少为 $ \lceil k/3 + 1 \rceil $。
• 由于 $ k = \log_3 n $，这给出了不和谐度的 $ \Omega(\log n) $ 下界，与贝克猜想的 $ O(1) $ 不和谐度相矛盾。
• 该递归构造可生成最多 $ 2^k $ 组不同的排列三元组，由于证明中的对称性，所有三元组均保持相同的 $ \Omega(\log n) $ 不和谐度下界。
• 该结果表明，博胡斯的 $ O(\ell \log n) $ 上界和斯宾塞、斯里尼瓦桑、特塔利的 $ O(\sqrt{\ell} \log n) $ 上界在 $ \ell $ 为常数时，其紧致性仅差一个 $ \log n $ 因子。
• 该反例表明贝克的猜想不成立，因此无法利用不和谐度与装箱问题中加法整数性间隙之间的联系，来证明装箱问题的 $ OPT_{LP} + O(1) $。