[论文解读] A De Giorgi Iteration-based Approach for the Establishment of ISS Properties of a Class of Semi-linear Parabolic PDEs with Boundary and In-domain Disturbances

Jun Zheng, Guchuan Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用 15

一句话总结

本文提出了一种基于 De Giorgi 迭代的新方法，用于建立具有 Dirichlet 边界条件以及边界和域内扰动的半线性抛物型 PDE 的输入-状态稳定性（ISS）。通过将系统分解为两个子系统——一个具有初始条件但无边界扰动，另一个具有边界扰动但初始条件为零——该方法结合了用于 $L^2$-范数 ISS 的李雅普诺夫泛函分析与用于 $L^\infty$-范数 ISS 的 De Giorgi 迭代，成功证明了 1-D 输运方程的 $L^\infty$-范数 ISS 和 Burgers 方程的 $L^2$-范数 ISS。

ABSTRACT

This paper addresses input-to-state stability (ISS) properties with respect to boundary and in-domain disturbances for a class of semi-linear partial differential equations (PDEs) subject to Dirichlet boundary conditions. The developed approach is a combination of the method of De Giorgi iteration and the technique of Lyapunov functionals by adequately splitting the original problem into two subsystems. The ISS in $L^\infty$-norm for a 1-$D$ transport equation and the ISS in $L^2$-norm for Burgers' equation have been established using this method. As an application of the main result for the 1-D transport equation, a study on ISS properties in $L^\infty$-norm of a 1-D transport equation with anti-stable term under boundary feedback control is carried out. This is the first time that the method of De Giorgi iteration is introduced in the ISS theory for infinite dimensional systems, and the developed method can be generalized for tackling some problems on multidimensional spatial domains and be applied to a wider class of nonlinear parabolic PDEs.

研究动机与目标

• 解决在 Dirichlet 边界条件下，同时存在边界和域内扰动的半线性抛物型 PDE 的输入-状态稳定性（ISS）建立问题。
• 克服现有方法的局限性，这些方法要么涉及无界算子，要么在 Dirichlet 条件下对 $L^\infty$-范数分析失效，尤其在该情形下。
• 将 De Giorgi 迭代方法的适用范围从正则性理论扩展至无限维系统的 ISS 分析。
• 为多维区域和更广泛的非线性抛物型 PDE 类别提供可推广的分析框架。
• 通过 1-D 输运方程和 Burgers 方程的 ISS 分析，验证该方法的有效性，包括在边界反馈控制下存在反稳定项的情形。

提出的方法

• 将系统分解为两个子系统：一个具有齐次边界条件和非零初始数据（无边界扰动），另一个具有边界扰动和零初始条件（域内扰动可分配至任一子系统）。
• 对于初值子系统，应用李雅普诺夫泛函技术，推导出在 $H^1$ 或 $L^2$-范数下的 ISS，确保在初始条件扰动下保持稳定。
• 对于边界扰动子系统，采用 De Giorgi 迭代技术，建立解的 $L^\infty$-范数上界，从而实现本质范数下的 ISS 分析。
• 通过结合两个子系统的估计结果，利用三角不等式和范数等价性，获得整体的 ISS 性质。
• 在推导过程中，使用关键不等式（如 Poincaré 不等式和 Young 不等式）控制非线性项和边界贡献。
• 该方法在 1-D 输运方程和 Burgers 方程上得到验证，推导出 $\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty}$ 和 $\|u(\cdot,t)\|_{L^2}$ 的显式边界，其表达式依赖于初始数据、边界扰动和域内扰动。

实验结果

研究问题

• RQ1 De Giorgi 迭代方法能否被有效适配，以建立具有边界扰动的无限维系统的 ISS 性质？
• RQ2 如何为具有 Dirichlet 边界条件的半线性抛物型 PDE 实现 $L^\infty$-范数 ISS，其中传统李雅普诺夫方法面临局限？
• RQ3 将系统分解为初值驱动子系统和扰动驱动子系统，在分别应用李雅普诺夫方法与 De Giorgi 方法以处理不同范数方面，其作用是什么？
• RQ4 所提出的方法能否推广至多维空间区域及其他类别的非线性抛物型 PDE？
• RQ5 在边界反馈控制下，对于具有反稳定项的系统，该方法在 $L^\infty$-范数 ISS 方面表现如何，尤其在稳定性估计方面？

主要发现

• 本文利用 De Giorgi 迭代方法，建立了具有边界和域内扰动的 1-D 线性输运 PDE 的 $L^\infty$-范数 ISS。
• 通过李雅普诺夫泛函技术，证明了在相同扰动条件下 Burgers 方程的 $L^2$-范数 ISS。
• 该方法获得的 $L^\infty$-范数上界优于文献 [21] 中先前得到的 $L^p$-范数结果（$p>2$），提供了更强的稳定性估计。
• 对于含反稳定项的 1-D 输运方程，在边界反馈控制下，该方法实现了 $L^\infty$-范数 ISS 分析，证明了其在可稳定系统中的适用性。
• 推导出的输运方程估计满足 $\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty} \leq \max_{s\in[0,t]}|d(s)| + \frac{1}{\mu}2^{\frac{5p-8}{2p-4}}\max_{(x,s)\in[0,1]\times[0,t]}|f(x,s)|$，明确显示出对扰动的依赖关系。
• 该方法被证明可推广至多维区域及其他半线性抛物型 PDE，如广义 Burgers 方程、Fisher-Kolmogorov 方程和 Chaffee-Infante 方程。