[论文解读] A deep learning framework for solution and discovery in solid mechanics: linear elasticity.

Ehsan Haghighat, Maziar Raissi+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 29被引用 21

一句话总结

本文提出了一种用于求解和发现线弹性问题的多网络物理信息神经网络（PINN）框架，将动量平衡和本构定律直接嵌入损失函数。该方法结合等几何分析（IGA）实现了更高的精度和收敛性，并在未见过的参数上表现出稳健的泛化能力，展示了其在代理建模和敏感性分析方面的强大潜力。

ABSTRACT

We present the application of a class of deep learning, known as Physics Informed Neural Networks (PINN), to learning and discovery in solid mechanics. We explain how to incorporate the momentum balance and constitutive relations into PINN, and explore in detail the application to linear elasticity, and illustrate its extension to nonlinear problems through an example that showcases von~Mises elastoplasticity. While common PINN algorithms are based on training one deep neural network (DNN), we propose a multi-network model that results in more accurate representation of the field variables. To validate the model, we test the framework on synthetic data generated from analytical and numerical reference solutions. We study convergence of the PINN model, and show that Isogeometric Analysis (IGA) results in superior accuracy and convergence characteristics compared with classic low-order Finite Element Method (FEM). We also show the applicability of the framework for transfer learning, and find vastly accelerated convergence during network re-training. Finally, we find that honoring the physics leads to improved robustness: when trained only on a few parameters, we find that the PINN model can accurately predict the solution for a wide range of parameters new to the network---thus pointing to an important application of this framework to sensitivity analysis and surrogate modeling.

研究动机与目标

• 开发一种将物理定律整合到神经网络中的深度学习框架，用于固体力学问题。
• 通过在PINN框架中引入等几何分析（IGA），提升线弹性问题求解的精度与收敛性。
• 通过物理信息训练，实现在新材料和载荷参数上的稳健泛化能力。
• 探索在少量数据下微调时的迁移学习优势。
• 展示该框架在代理建模和敏感性分析中的适用性。

提出的方法

• 该框架采用多网络架构，以更优地表示位移和应力等场变量，相比单网络PINN提升了精度。
• 通过控制PDE的弱形式，将动量平衡和线弹性本构关系嵌入损失函数。
• 使用等几何分析（IGA）对解空间进行参数化，相比低阶有限元法（FEM），显著提升了光滑性与收敛性。
• 利用从解析解和数值参考解生成的合成数据进行训练，以验证精度与收敛性。
• 通过在新参数集上微调，应用迁移学习，利用先前学习到的物理规律加速收敛。
• 通过在训练过程中最小化PDE强形式或弱形式的残差违反，确保物理一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 多网络PINN框架在求解线弹性问题时，是否能比单网络PINN实现更高的精度？
• RQ2 在PINN框架中，等几何分析（IGA）与经典低阶FEM相比，在收敛性和精度方面表现如何？
• RQ3 在有限参数集上训练的PINN模型，能在多大程度上泛化到新的、未见过的参数值？
• RQ4 该物理信息框架是否能支持高效的迁移学习，实现在新问题上的加速微调？
• RQ5 该框架是否可作为固体力学中敏感性分析的有效代理模型？

主要发现

• 与单网络PINN相比，多网络PINN框架在场变量表示上表现更优，从而实现了更高的求解精度。
• 基于IGA的PINN相比基于低阶FEM的PINN展现出更优的收敛特性和更高的精度。
• 模型表现出强大的泛化能力：在少量参数上训练后，能准确预测广泛的新参数下的解。
• 迁移学习显著加速了微调过程中的收敛，凸显了该框架在参数化研究中的效率。
• 物理信息训练增强了鲁棒性，即使在训练数据有限的情况下也能实现可靠的解发现。
• 由于其对参数变化的泛化能力，该框架适用于代理建模和敏感性分析。