[论文解读] A degeneration of stable morphisms and relative stable morphisms

Jun Li|ArXiv.org|Sep 9, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文通过引入退化目标概形和相对对的展开退化丛，构建了唐纳森-弗洛尔理论的代数几何类比。证明了这些丛上稳定映射与相对稳定映射的模空间是分离且完备的德利涅-芒福德丛，为定义相对格罗莫夫-威滕不变量并以具有法向交叉除子的对的不变量表示光滑概形的不变量，奠定了基础。

ABSTRACT

The introduction is modified in the revised version. Also, many typos and errors were corrected. Let $W o C$ be degeneration of smooth varieties so that the special fiber has normal crossing singularity. In this paper, we first constructed the stack of expanded degenerations of $W$. We then constructed the moduli space of stable morphisms to this stack, which provides a degeneration of the moduli spaces of stable morphisms associated to $W/C$. Using similar technique, for a pair of smooth variety and a smooth divisor $(Z,D)$, we constructed the stack of expanded relative pairs and then the moduli spaces of relative stable morphisms to $(Z,D)$. In the subsequent paper we will construct the relative Gromov-Witten invariants and prove a degeneration formula of Gromov-Witten invariants.

研究动机与目标

• 为模空间的退化构造唐纳森-弗洛尔理论的代数几何类比。
• 为具有法向交叉奇点的概族构造展开退化丛。
• 定义至展开退化丛的稳定映射模空间，并证明其完备性与分离性。
• 为构造相对格罗莫夫-威滕不变量并证明光滑概形不变量的退化公式奠定基础。
• 将框架扩展至光滑概形 Z 中的光滑除子 D 的相对对 (Z,D)。

提出的方法

• 为具有中心纤维具有法向交叉奇点的光滑概形退化 W/C 构造展开退化丛。
• 定义至展开退化丛 W 的稳定映射模函子，证明其为分离且完备的德利涅-芒福德丛。
• 为光滑概形 Z 与光滑除子 D 的对 (Z,D) 构造展开相对对的丛。
• 定义至展开相对对丛的相对稳定映射模函子，证明其为分离且完备的德利涅-芒福德丛。
• 利用展开退化的几何结构，通过粘合数据与自同构群分析，将退化纤维上的稳定映射与各分量上的相对映射联系起来。
• 通过 Eq(η) 在标记点上的作用与各分量自同构群的分析，研究稳定映射模空间之间映射的次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有法向交叉奇点的退化目标概形构造一个完备且分离的稳定映射模空间？
• RQ2 在格罗莫夫-威滕不变量退化的背景下，唐纳森-弗洛尔理论的代数几何类比是什么？
• RQ3 如何为具有光滑除子的对 (Y_i, D_i) 定义相对稳定映射并构造其模空间？
• RQ4 光滑退化纤维的格罗莫夫-威滕不变量与各分量的相对不变量之间的确切关系是什么？
• RQ5 格罗莫夫-威滕不变量的退化公式能否通过展开退化的几何构造推导得出？

主要发现

• 展开退化丛 W/C 的稳定映射模函子是 C 上的分离且完备的德利涅-芒福德丛。
• 展开相对对丛 (Z,D) 的相对稳定映射模函子是分离且完备的德利涅-芒福德丛。
• 稳定映射模空间之间的映射 Φη 是纯度为 |Eq(η)| 的有限且平坦的，其中 Eq(η) 是保持分解类型 η 的置换群。
• 映射 Φη 的次数由群 Eq(η) 的大小与各分量自同构群决定，公式为 deg(Φη) = |Eq(η)|。
• 该构造为格罗莫夫-威滕不变量的退化公式提供了几何框架，后续论文 [Li] 预期将通过完美障碍理论与虚拟周期证明 GW(W_t) = GW(Y₁,D₁) ∗ GW(Y₂,D₂)。
• 该方法通过使用展开退化避免了层论退化中的非局部自由性问题，推广了曲线与曲面的结果。