[论文解读] Relative Gromov-Witten Invariants

Eleny-Nicoleta Ionel, Thomas H. Parker|ArXiv.org|Jul 23, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 13

一句话总结

本文通过构建V-稳定映射的紧致模空间，为相对于余维数二的辛子流形的辛流形引入了相对Gromov-Witten不变量。关键贡献在于建立了一个严格的框架，使得辛和公式得以实现，推广了Hurwitz数和Caporaso-Harris不变量，并为相对情形下的枚举几何奠定了基础。

ABSTRACT

We define relative Gromov-Witten invariants of a symplectic manifold relative to a codimension two symplectic submanifold. These invariants are the key ingredients in the symplectic sum formula of [IP4]. The main step is the construction of a compact space of `V-stable' maps. Simple special cases include the Hurwitz numbers for algebraic curves and the enumerative invariants of Caporaso and Harris.

研究动机与目标

• 为相对于余维数二的辛子流形的辛流形定义相对Gromov-Witten不变量。
• 构建一个支持不变量的V-稳定映射的紧致模空间。
• 为Gromov-Witten理论中的辛和公式提供基础框架。
• 在辛几何设定下，推广经典枚举不变量，如Hurwitz数和Caporaso-Harris不变量。

提出的方法

• 作者引入V-稳定映射的概念，作为稳定映射的推广，以允许沿辛除子的相对条件。
• 他们基于虚拟基本类的稳定性条件，构建了具有沿除子指定切触条件的映射模空间的紧致化。
• 通过在V-稳定映射的紧致化模空间的虚拟基本类上积分来定义不变量。
• 该构造确保了在辛和操作下具有良好的粘合性质，从而支持辛和公式。
• 该方法依赖于辛拓扑技术，包括Gromov-Witten理论和虚拟周期理论。
• 该框架在特殊情况下（如曲线的相对不变量）与代数几何相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在相对情形下定义Gromov-Witten不变量，即要求映射沿辛除子满足切触条件？
• RQ2 在退化情形下，为使不变量具有良好行为，需要哪些紧致性与稳定性条件？
• RQ3 能否通过来自紧致模空间的相对不变量，严格建立辛和公式？
• RQ4 这些相对不变量与经典枚举不变量（如Hurwitz数和Caporaso-Harris不变量）有何关系？
• RQ5 V-稳定映射在实现相对情形下的紧致性与虚拟维数控制中起什么作用？

主要发现

• 作者成功构建了V-稳定映射的紧致模空间，该模空间构成了定义相对Gromov-Witten不变量的基础。
• 相对不变量是良好定义且有限的，模空间的虚拟维数与障碍理论所预期的维数一致。
• 不变量满足辛和公式，如附录工作[IP4]所确立，证实了其在沿子流形粘合辛流形中的作用。
• 该构造恢复了已知不变量：在亏格零曲线的情形下，其退化为Hurwitz数和Caporaso-Harris不变量。
• 该框架与代数几何相容，显示出与代数范畴中现有枚举结果的一致性。
• V-稳定映射模空间上的虚拟基本类是良好定义的，并支持不变量的积分。