[论文解读] A derivability criterion based on the existence of adjunctions

Beatriz Rodríguez González|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于伴随关系而非解析的函子新可导性准则，证明若一个伴随函子的左导函子具有右伴随，则其右导函子存在且等于该伴随。关键贡献是Quillen-Maltsiniotis导出伴随定理的逆定理，解决了关于同伦余极限定义等价性的长期疑问，并确认了Toën在导出Morita理论中的内部函子确实是dg-范畴内部函子的绝对右导函子。

ABSTRACT

In this paper we introduce a derivability criterion of functors based on the existence of adjunctions rather than on the existence of resolutions. It constitutes a converse of Quillen-Maltsiniotis Derived Adjunction Theorem. We present two consequences of our derivability criterion. On the one hand, we prove that the two notions for homotopy colimits corresponding to Grothendieck derivators and Quillen model categories are equivalent. On the other hand, we deduce that the internal hom for derived Morita theory constructed by B. Toen is indeed the right derived functor of the internal hom of dg-categories.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖于解析、而基于伴随关系的函子新可导性准则，作为基于内射或K-内射解析的经典准则的替代方案。
• 提供Quillen-Maltsiniotis导出伴随定理的逆定理，证明若左导函子具有右伴随，则右导函子存在。
• 通过证明Grothendieck与Quillen对同伦余极限的定义等价，解决同伦代数中的基础性问题。
• 确认Toën在导出Morita理论中构造的内部函子确实是dg-范畴内部函子的绝对右导函子，尽管其构造不依赖于解析。

提出的方法

• 该可导性准则源自Dubuc关于迭代凯恩扩张的结果，利用绝对凯恩扩张的存在性推导出导函子的存在性。
• 该准则表明：若 $\mathbb{L}F$ 具有右伴随 $G'$，则 $\mathbb{R}G$ 存在且等于 $G'$，其中 $F$ 与 $G$ 为伴随函子。
• 该方法适用于模型范畴与导出范畴，利用dg-范畴与模型范畴的同伦范畴中的局部化与导函子。
• 通过导出张量积的单位的自然性，证明 $Ho(dgcat)$ 中的内部函子是dg-范畴内部函子的右导函子。
• 该方法避免了基于解析的构造，仅依赖伴随关系与绝对凯恩扩张，从而实现了对导函子更结构化的刻画。
• 通过对偶性将该准则扩展至右导函子，确保可导性条件的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖解析的前提下，基于伴随关系提出可导性准则？
• RQ2 左导函子具有右伴随是否足以保证右导函子的存在？
• RQ3 Grothendieck与Quillen对同伦余极限的定义在一般情况下是否等价？
• RQ4 Toën在导出Morita理论中构造的内部函子是否为dg-范畴内部函子的右导函子？
• RQ5 导函子能否在局部化同伦范畴中完全通过伴随关系刻画？

主要发现

• 本文建立了新可导性准则：若 $F: \mathcal{C} \rightleftarrows \mathcal{D} : G$ 为伴随关系，且 $\mathbb{L}F$ 具有右伴随 $G'$，则 $\mathbb{R}G$ 存在且等于 $G'$。
• 通过导出范畴中左伴随定义的同伦余极限与通过模型范畴中绝对左导函子定义的同伦余极限是等价的。
• 由同伦余极限定义的等价性直接推出，Quillen导函子定义的同伦左凯恩扩张是可复合的。
• 确认Toën在 $Ho(dgcat)$ 中构造的内部函子 $\mathcal{R}\underline{\mathrm{Hom}}(-,-)$ 确实是dg-范畴内部函子的绝对右导函子 $\mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(-,-)$。
• $Ho(dgcat)$ 中的导出张量积 $- \otimes^\mathbb{L} \mathcal{B}$ 具有绝对左导函子，从而保证 $Ho(dgcat)$ 是一个闭对称张量范畴。
• 导出张量积 $- \otimes^\mathbb{L} \mathcal{B}$ 的单位的自然性确保了内部函子构造与导函子相容，从而验证了其作为导函子的角色。