[论文解读] All $(\infty,1)$-toposes have strict univalent universes

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 74被引用 16

一句话总结

本文证明了每个$(\infty,1)$-topos都存在一个严格同伦等价的宇宙，解决了高阶范畴理论与同伦类型理论中的一个基础性问题。通过在$(\infty,1)$-范畴的框架内采用构造性方法，作者建立了在相关范畴运算下严格封闭的同伦等价宇宙，从而为高阶拓扑斯理论中的类型论构造提供了典范模型。

ABSTRACT

We prove the conjecture that any Grothendieck $(\infty,1)$-topos can be presented by a Quillen model category that interprets homotopy type theory with strict univalent universes. Thus, homotopy type theory can be used as a formal language for reasoning internally to $(\infty,1)$-toposes, just as higher-order logic is used for 1-toposes. As part of the proof, we give a new, more explicit, characterization of the fibrations in injective model structures on presheaf categories. In particular, we show that they generalize the coflexible algebras of 2-monad theory.

研究动机与目标

• 在每个$(\infty,1)$-topos中建立严格同伦等价宇宙的存在性，以填补高阶拓扑斯理论中的基础性空白。
• 为在$(\infty,1)$-范畴中建模同伦等价类型理论提供一种构造性且范畴论的框架。
• 解决同伦等价宇宙是否可在所有$(\infty,1)$-toposes中严格实现的问题，而非仅限于特定模型。
• 通过确保同伦等价宇宙在所有此类范畴中一致可用，扩展类型论与高阶拓扑斯之间的对应关系。

提出的方法

• 利用$(\infty,1)$-范畴理论及$(\infty,1)$-拓扑斯的内部语言，分析宇宙构造。
• 通过同伦等价纤维化及其普遍性质，在内部逻辑中定义严格同伦等价宇宙。
• 通过核心射或局部化函子构造宇宙，以确保同伦等价性及对依赖和与依赖积的严格封闭性。
• 应用高阶拓扑斯理论中的结果，例如对象分类器的存在性，以及$(\infty,1)$-拓扑斯中类型论运算的一致性。
• 利用每个$(\infty,1)$-拓扑斯均为可表示的、局部笛卡尔封闭且幂等完备范畴的性质，以确保所需普遍族的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个$(\infty,1)$-topos是否都存在一个在依赖和与依赖积的范畴运算下严格封闭的同伦等价宇宙？
• RQ2 是否可使$(\infty,1)$-topos中同伦等价宇宙的构造在所有此类范畴中保持典范且一致？
• RQ3 是否可能在不依赖额外假设或特定模型构造的前提下，实现在所有$(\infty,1)$-toposes中的同伦等价类型理论？
• RQ4 $(\infty,1)$-topos的内部逻辑如何支持严格同伦等价宇宙的存在？

主要发现

• 每个$(\infty,1)$-topos都存在一个在依赖和与依赖积下严格封闭的同伦等价宇宙。
• 该同伦等价宇宙被构造为满足内部逻辑中同伦等价条件的普遍纤维族。
• 该构造是典范的，且仅依赖于$(\infty,1)$-topos的公理，无需额外假设。
• 此类宇宙的存在性确保了任意$(\infty,1)$-topos的内部类型理论以严格且一致的方式验证同伦等价类型理论。