[论文解读] A deterministic polynomial time algorithm for non-commutative rational identity testing with applications

Ankit Garg, Leonid Gurvits+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 5

一句话总结

本文提出了首个用于在非交换变量上测试符号矩阵可逆性的确定性多项式时间算法，解决了长期存在的开放性问题。通过利用关于算子容量的新下界分析并证明Gurvits算法的多项式时间复杂度，该工作实现了对非交换恒等式测试、自由斜域中的字问题以及含除法的算术公式求值的高效求解。

ABSTRACT

In this paper we present a deterministic polynomial time algorithm for testing if a symbolic matrix in non-commuting variables over $\mathbb{Q}$ is invertible or not. The analogous question for commuting variables is the celebrated polynomial identity testing (PIT) for symbolic determinants. In contrast to the commutative case, which has an efficient probabilistic algorithm, the best previous algorithm for the non-commutative setting required exponential time (whether or not randomization is allowed). The algorithm efficiently solves the word for the free skew field, and the identity testing problem for arithmetic formulae with division over non-commuting variables, two problems which had only exponential-time algorithms prior to this work. The main contribution of this paper is a complexity analysis of an existing algorithm due to Gurvits, who proved it was polynomial time for certain classes of inputs. We prove it always runs in polynomial time. The main component of our analysis is a simple (given the necessary known tools) lower bound on central notion of capacity of operators (introduced by Gurvits). We extend the algorithm to actually approximate capacity to any accuracy in polynomial time, and use this analysis to give quantitative bounds on the continuity of capacity (the later is used in a subsequent paper on Brascamp-Lieb inequalities). Symbolic matrices in non-commuting variables, and the related structural and algorithmic questions, have a remarkable number of diverse origins and motivations. They arise independently in (commutative) invariant theory and representation theory, linear algebra, optimization, linear system theory, quantum information theory, approximation of the permanent and naturally in non-commutative algebra. We provide a detailed account of some of these sources and their interconnections.

研究动机与目标

• 为在ℚ上非交换变量的符号矩阵可逆性测试开发一个确定性多项式时间算法。
• 解决Gurvits算法在非交换有理恒等式测试中的复杂度问题，证明其对所有输入均运行在多项式时间内。
• 为自由斜域中的字问题和含非交换变量除法的算术公式恒等式测试提供高效解法。
• 建立线性算子容量的下界，这是Gurvits框架中的关键量，以支持运行时间分析。
• 将算法扩展至在多项式时间内以任意精度近似算子容量，从而为Brascamp-Lieb不等式中的连续性界提供支持。

提出的方法

• 适配并分析Gurvits现有的非交换有理恒等式测试算法，证明其对所有输入均具有多项式时间复杂度。
• 引入线性算子容量的新下界，这是Gurvits方法中的核心概念，以建立多项式时间复杂度的保证。
• 利用容量下界证明，无论输入结构如何，该算法均在多项式时间内运行。
• 将算法扩展至在多项式时间内以任意所需精度近似算子容量。
• 利用容量的连续性（由近似算法推导得出），支持在Brascamp-Lieb不等式中的应用。
• 将该框架应用于求解自由斜域中的字问题以及含除法的非交换算术电路的恒等式测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在非交换变量上的符号矩阵可逆性测试构造一个确定性多项式时间算法？
• RQ2 Gurvits的非交换有理恒等式测试算法是否对所有输入均运行在多项式时间内，还是仅对特定类别的输入成立？
• RQ3 自由斜域中字问题的计算复杂度是多少，能否高效求解？
• RQ4 能否以一种可支持非交换算法多项式时间分析的方式，对线性算子容量进行下界估计？
• RQ5 能否在多项式时间内以任意精度近似算子容量，其对连续性界意味着什么？

主要发现

• 本文提出了首个用于在非交换变量上测试符号矩阵可逆性的确定性多项式时间算法。
• 证明了Gurvits的非交换有理恒等式测试算法对所有输入均运行在多项式时间内，而不仅限于特殊情况。
• 该算法高效求解了自由斜域中的字问题，此前仅存在指数时间解法。
• 该算法实现了对含非交换变量除法的算术公式的高效恒等式测试，此前该问题仅能以指数时间求解。
• 建立了算子容量的新下界，这是证明算法多项式时间复杂度的核心。
• 该算法可在多项式时间内以任意所需精度近似算子容量，且该结果导出了容量的定量连续性界。