[论文解读] A developed new algorithm for evaluating Adomian polynomials

Mustapha Azreg‐Aïnou|ArXiv.org|Jun 1, 2009

Fuzzy Systems and OptimizationMathematics参考文献 8被引用 19

一句话总结

本文提出了一种新颖的阿多米安多项式（APs）计算算法，通过定义仅依赖于下标差的约化多项式（RPs），实现了系统化、紧凑且高效的计算。该方法简化了手算过程，并生成高度优化的 Mathematica 程序，明确推导出至 $ A_{10} $ 的阿多米安多项式通式，显著降低了阿多米安分解法中的计算复杂度。

ABSTRACT

Adomian polynomials (AP's) are expressed in terms of new objects called reduced polynomials (RP's). These new objects, which carry two subscripts, are independent of the form of the nonlinear operator. Apart from the well-known two properties of AP's, curiously enough no further properties are discussed in the literature. We derive and discuss in full detail the properties of the RP's and AP's. We focus on the case where the nonlinear operator depends on one variable and construct the most general analytical expressions of the RP's for small values of the difference of their subscripts. It is shown that each RP depends on a number of functions equal to the difference of its subscripts plus one. These new properties lead to implement a dramatically simple and compact Mathematica program for the derivation of individual RP's and AP's in their general forms and provide useful hints for elegant hand calculations of AP's. Application of the program is considered.

研究动机与目标

• 为解决阿多米安分解法（ADM）中阿多米安多项式（APs）计算复杂度过高的问题，该问题在求解非线性微分与积分方程时构成主要瓶颈。
• 引入一类新对象，称为约化多项式（RPs），其与非线性算子无关，仅依赖于下标之差。
• 推导出下标差较小时 RPs 的通解表达式，揭示每个 RP 依赖于 $ m-k+1 $ 个函数，其中 $ m $ 和 $ k $ 为下标。
• 开发一种简单、紧凑且高效的 Mathematica 程序，用于计算单个 RPs 和 APs 的通式。
• 提供 $ A_5 $ 至 $ A_{10} $ 的显式、此前未发表的解析表达式，显著提升 ADM 在解析与计算研究中的实用性。

提出的方法

• 本文定义了约化多项式（RPs），记为 $ Z_{m,k} $，其与非线性算子 $ N $ 无关，仅依赖于下标差 $ m-k $。
• 证明当 $ k > 1 $ 时，$ Z_{m,k} $ 依赖于 $ m-k+1 $ 个函数 $ (u_1, u_2, ..., u_{m-k+1}) $，而 $ Z_{m,1} $ 仅依赖于 $ u_m $。
• 阿多米安多项式 $ A_m $ 被分解为对 $ k $ 的求和，其中每一项为 $ Z_{m,k} $ 与非线性函数 $ F $ 的第 $ k $ 阶导数的乘积，即 $ A_m = igoplus_{k=1}^m Z_{m,k} F^{(k)}(u_0) $。
• 作者推导出 $ m-k $ 取较小值时 $ Z_{m,k} $ 的通式，从而实现 AP 的系统化构造。
• 基于推导出的性质实现了一个 Mathematica 程序，可自动生成 RPs 和 APs 的符号形式。
• 通过推导并展示 $ A_5 $ 至 $ A_{10} $ 的首个显式通式，验证了该方法的有效性，这些结果在现有文献中尚未出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统化并简化阿多米安多项式的计算，以减轻阿多米安分解法中的计算负担？
• RQ2 约化多项式（RPs）的内在结构特性如何决定其对分量 $ u_1, u_2, ..., u_m $ 的依赖关系？
• RQ3 能否为下标差较小的 RPs 推导出通解表达式？其对 $ u_i $ 分量的函数依赖关系如何？
• RQ4 基于新 RP 的算法在多大程度上可实现紧凑且高效的符号计算程序？
• RQ5 $ A_5 $ 至 $ A_{10} $ 的显式通式是什么？与现有文献相比有何差异？

主要发现

• 当 $ k > 1 $ 时，约化多项式 $ Z_{m,k} $ 恰好依赖于 $ m-k+1 $ 个函数 $ (u_1, ..., u_{m-k+1}) $，而 $ Z_{m,1} $ 仅依赖于 $ u_m $，揭示了清晰的结构规律。
• $ A_m $ 的通式被表达为 $ m $ 项之和，每一项为 $ Z_{m,k} $ 与 $ F^{(k)}(u_0) $ 的乘积，从而将算子无关部分与算子相关部分明确分离。
• 推导出的 $ A_5 $ 至 $ A_{10} $ 表达式是文献中首次完整、显式且通用的多项式形式，填补了关键空白。
• 该算法使得计算 RPs 和 APs 的 Mathematica 程序实现显著简化与紧凑，降低了代码复杂度与执行时间。
• 该方法为 AP 的优雅手算提供了清晰、系统的提示，大幅减少了手动推导所需的工作量。
• 该方法具有普适性，适用于任意单变量非线性算子，因此在非线性科学与工程的多种应用中具有广泛适用性。