[论文解读] A DGFEM for Uniformly Elliptic Two Dimensional Oblique Boundary Value Problems

Ellya L. Kawecki|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新型的不连续伽辽金有限元方法（DGFEM），用于在曲面上求解二维一致椭圆型偏微分方程的非散度形式，且具有倾斜边界条件。该方法实现了最优收敛率，并一致地逼近边界条件中的相容性常数，将先前针对狄利克雷条件的研究扩展至更一般的倾斜情形，且提供了严格的稳定性与误差分析。

ABSTRACT

In this paper we present and analyse a discontinuous Galerkin finite element method (DGFEM) for the approximation of solutions to elliptic partial differential equations in nondivergence form, with oblique boundary conditions, on curved domains. In "E. Kawecki, \emph{A DGFEM for Nondivergence Form Elliptic Equations with Cordes Coefficients on Curved Domains}", the author introduced a DGFEM for the approximation of solutions to elliptic partial differential equations in nondivergence form, with Dirichlet boundary conditions. In this paper, we extend the framework further, allowing for the oblique boundary condition. The method also provides an approximation for the constant occurring in the compatibility condition for the elliptic problems that we consider.

研究动机与目标

• 将不连续伽辽金有限元方法（DGFEM）从狄利克雷条件扩展至非散度形式椭圆型PDE中的倾斜边界条件。
• 为曲面上的二维一致椭圆型方程开发一种稳定且收敛的数值格式。
• 在倾斜边界条件中近似出现的相容性常数，该常数出现在具有非齐次诺伊曼型约束的问题中。
• 在多项式次数和网格加密下建立最优误差估计，即使在Sobolev正则性受限的情况下亦成立。
• 为通过线性化求解非线性PDE（如蒙日-安培方程和汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程）提供理论基础。

提出的方法

• 该方法采用专为非散度形式PDE设计的不连续伽辽金格式，使用分段Sobolev空间和单元界面处的数值通量。
• 采用曲边三角形单元，通过多项式映射精确表示曲边界，确保几何一致性。
• 通过引入方向导数为倾斜向量场 $\beta$ 方向的数值通量，弱式地施加倾斜边界条件。
• 引入稳定化项以确保离散稳定性，并控制单元边界处梯度的跃变。
• 该方法结合变分格式，弱式地强制倾斜条件，同时允许在边界条件中对常数进行逼近。
• 理论分析基于Cordes型条件和Miranda–Talenti型估计，推导出在分段 $H^2$-半范数下的最优误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为曲面上的非散度形式椭圆型PDE构造并分析具有倾斜边界条件的DGFEM？
• RQ2 所提出的DGFEM在多项式次数和网格加密下是否实现最优收敛率？
• RQ3 如何在有限元框架内一致地逼近倾斜边界条件中的相容性常数？
• RQ4 当采用自适应网格加密时，Sobolev正则性降低（例如，$u \in H^{5/2 - \delta}$）对收敛性有何影响？
• RQ5 该方法能否推广至高维倾斜边界值问题？其理论障碍是什么？

主要发现

• DGFEM在分段 $H^2$-半范数下实现了最优收敛率，收敛阶为 $\mathcal{O}(h^p)$，其中 $p$ 为多项式次数，数值实验验证了 $p=2,3,4$ 的情形。
• 在向原点（解的正则性降低）处进行网格加密的适配网格上，对于 $p=3$ 和 $p=4$，收敛率从 $\mathcal{O}(\text{ndofs}^{-1/4})$ 提升至 $\mathcal{O}(\text{ndofs}^{-1/2})$。
• 对于 $p=2$，收敛率保持在 $\mathcal{O}(\text{ndofs}^{-1/4})$，与解的有限正则性一致。
• 该方法可一致逼近倾斜边界条件中的相容性常数，这对问题的适定性至关重要。
• 通过离散inf-sup条件证明了稳定性，确保了数值解的存在性与唯一性。
• 数值实验验证了在 $H^1$-半范数和 $H^2$-半范数下均实现最优收敛率，即使在共形正则性假设下亦成立。