[论文解读] A dichotomy for minimal hypersurfaces in manifolds thick at infinity

Antoine Song|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 47被引用 9

一句话总结

本文在满足在无穷远处为厚的完备 (n+1) 维黎曼流形（2 ≤ n ≤ 6）上建立了极小超曲面的零-无穷二分法：要么存在无穷多个闭嵌入极小超曲面（n-体积泛函的鞍点），要么一个也不存在。该结果通过利用极小极大理论和格罗莫夫的存在性结果，将丘成桐关于极小曲面丰沛性的猜想推广至非紧情形，证明此类流形要么包含无穷多个极小超曲面，要么其任意紧致区域被严格平均曲率超曲面所叶状化。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a complete $(n+1)$-dimensional Riemannian manifold with $2\leq n\leq 6$. Our main theorem generalizes the solution of S.-T. Yau's conjecture on the abundance of minimal surfaces and builds on a result of M. Gromov. Suppose that $(M,g)$ has bounded geometry, or more generally is thick at infinity. Then the following dichotomy holds for the space of closed hypersurfaces in $M$: either there are infinitely many saddle points of the $n$-volume functional, or there is none. Additionally, we give a new short proof of the existence of a finite volume minimal hypersurface in finite volume manifolds, we check Yau's conjecture for finite volume hyperbolic 3-manifolds and we extend the density result due to Irie-Marques-Neves when $(M,g)$ is shrinking to zero at infinity.

研究动机与目标

• 通过为极小超曲面建立零-无穷二分法，将丘成桐关于极小曲面丰沛性的猜想推广至非紧黎曼流形。
• 将格罗莫夫关于有限体积极小超曲面存在性的结果推广至在无穷远处为厚的流形情形。
• 为有限体积流形中有限体积极小超曲面的存在性提供一个全新的简短证明。
• 验证有限体积双曲 3-流形中丘成桐的猜想。
• 将 Irie-Marques-Neves 的密度结果推广至在无穷远处趋于零的流形。

提出的方法

• 本文在在无穷远处为厚的流形上应用 n-体积泛函的极小极大理论，利用具有柱状端的非紧情形中的局部构造。
• 借助格罗莫夫关于存在有限体积极小超曲面或紧致区域的严格平均曲率叶状结构的结果。
• 作者使用变集收敛性与阿姆布伦-皮茨极小极大理论，将极小超曲面构造为 sweepouts 的极限。
• 应用平均曲率流的水平集流形式来分析平均凸集的长期行为及其收敛至稳定极小超曲面的性质。
• 证明依赖于水平集流的正则性与单调性性质，包括奇点集的豪斯多夫维数至多为 n−1。
• 一个关键的技术步骤是证明极小超曲面在 Gromov-Hausdorff 收敛下不可能收敛至严格稳定的边界分量，从而确保其在内部支撑。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有界几何或在无穷远处为厚的非紧流形中，紧致流形中极小超曲面的丰沛性是否仍成立？
• RQ2 能否在非紧流形中为闭嵌入极小超曲面的数量建立零-无穷二分法？
• RQ3 在无穷远处的厚度条件在控制极小超曲面存在性方面起什么作用？
• RQ4 在非紧与紧流形中，n-体积泛函的临界点行为有何不同？
• RQ5 Irie-Marques-Neves 的密度定理能否推广至在无穷远处趋于零的流形？

主要发现

• 对于任意完备的 (n+1) 维黎曼流形（2 ≤ n ≤ 6）且在无穷远处为厚的情形，闭嵌入极小超曲面的空间要么包含无穷多个 n-体积泛函的鞍点，要么一个也不存在。
• 本文为任意有限体积完备黎曼流形中有限体积极小超曲面的存在性提供了全新的简短证明。
• 丘成桐的猜想在有限体积双曲 3-流形中得到证实，这些流形包含无穷多个极小曲面。
• Irie-Marques-Neves 的密度结果被推广至在无穷远处趋于零的流形，表明在这些情形下极小超曲面是稠密的。
• 在在无穷远处为厚的流形中，若不存在闭极小超曲面，则任意紧致区域均存在严格平均曲率叶状结构。
• 通过极小极大理论构造的极限变集其支撑位于区域内部，且要么为二面体且指标为一，要么为单面体，从而保证了嵌入性与稳定性。