[论文解读] A Dirac-type theorem for uniform hypergraphs

Yue Ma, Xinmin Hou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文建立了 $r$-uniform 超图中保证存在长 Berge 路径与环的 Dirac 型最小度条件。证明表明，若一个连通的 $n$-顶点 $r$-图的最小度超过 $\binom{k}{r-1}$，则其包含长度至少为 $2k+1$ 的 Berge 路径，且当 $k > r \geq 4$ 和 $n > 2k+1$ 时，给出了紧致的极值构造。该结果将 Dirac 定理推广至超图，并改进了 Berge 哈密顿环的条件界限。

ABSTRACT

Dirac (1952) proved that every connected graph of order $n>2k+1$ with minimum degree more than $k$ contains a path of length at least $2k+1$. Erdős and Gallai (1959) showed that every $n$-vertex graph $G$ with average degree more than $k-1$ contains a path of length $k$. The hypergraph extension of the Erdős-Gallai Theorem have been given by Győri, Katona, Lemons~(2016) and Davoodi et al.~(2018). Füredi, Kostochka, and Luo (2019) gave a connected version of the Erdős-Gallai Theorem for hypergraphs. In this paper, we give a hypergraph extension of the Dirac's Theorem: Given positive integers $n,k$ and $r$, let $H$ be a connected $n$-vertex $r$-graph with no Berge path of length $2k+1$. We show that (1) If $k> r\ge 4$ and $n>2k+1$, then $δ_1(H)\le\binom{k}{r-1}$. Furthermore, the equality holds if and only if $S'_r(n,k)\subseteq H\subseteq S_r(n,k)$ or $H\cong S(sK_{k+1}^{(r)},1)$; (2) If $k\ge r\ge 2$ and $n>2k(r-1)$, then $δ_1(H)\le \binom{k}{r-1}$. The result is also a Dirac-type version of the result of Füredi, Kostochka, and Luo. As an application of (1), we give a better lower bound of the minimum degree than the ones in the Dirac-type results for Berge Hamiltonian cycle given by Bermond et al.~(1976) and Clemens et al. (2016), respectively.

研究动机与目标

• 将 Dirac 的经典路径存在性定理从图推广至 $r$-uniform 超图。
• 确定连通 $r$-图中保证存在长度为 $2k+1$ 的 Berge 路径的最小度阈值。
• 当 $k > r \geq 4$ 且 $n > 2k+1$ 时，刻画达到该阈值的极值超图结构。
• 将结果应用于改进超图中 Berge 哈密顿环条件的下界。

提出的方法

• 通过顶点-边关联关系定义 $r$-uniform 超图中的 Berge 路径与环。
• 引入极值超图构造 $S_r(n,k)$、$S'_r(n,k)$ 和 $S(sK_{k+1}^{(r)},1)$ 以分析极值情形。
• 利用度数论证与对最长 Berge 路径的结构分析来界定最小度。
• 应用凸性与组合不等式来界定最长 Berge 路径端点的度数。
• 证明一个关键引理：当 $n = t+1$ 且 $\delta_1 > \binom{\lfloor t/2\rfloor}{r-1} + \lceil t/2 \rceil$ 时，高最小度将迫使存在 Berge 哈密顿环。
• 通过反证法与顶点划分，排除在低度假设下的长 Berge 路径或环的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $r$-uniform 超图中，保证存在长度为 $2k+1$ 的 Berge 路径的最小度阈值是什么？
• RQ2 对于哪些 $r$-图，阈值 $\delta_1(H) \leq \binom{k}{r-1}$ 是紧致的？其极值结构是什么？
• RQ3 能否利用新的路径存在性阈值改进 Berge 哈密顿环的 Dirac 型条件？
• RQ4 超图的连通性如何影响长 Berge 路径的极值度数阈值？
• RQ5 构造 $S_r(n,k)$、$S'_r(n,k)$ 和 $S(sK_{k+1}^{(r)},1)$ 在刻画极值超图中起什么作用？

主要发现

• 当 $k > r \geq 4$ 且 $n > 2k+1$ 时，若连通 $n$-顶点 $r$-图 $H$ 不含长度为 $2k+1$ 的 Berge 路径，则 $\delta_1(H) \leq \binom{k}{r-1}$，且等号成立当且仅当 $S'_r(n,k) \subseteq H \subseteq S_r(n,k)$ 或 $H \cong S(sK_{k+1}^{(r)},1)$。
• 当 $k \geq r \geq 2$ 且 $n > 2k(r-1)$ 时，连通 $r$-图若不含长度为 $2k+1$ 的 Berge 路径，则同样有 $\delta_1(H) \leq \binom{k}{r-1}$。
• 极值构造 $S_r(n,k)$、$S'_r(n,k)$ 和 $S(sK_{k+1}^{(r)},1)$ 的最小度恰好为 $\binom{k}{r-1}$，且均不含比 $2k$ 更长的 Berge 路径。
• 新引理表明：若 $\delta_1(H) > \binom{\lfloor t/2\rfloor}{r-1} + \lceil t/2 \rceil$ 且 $H$ 连通且最长 Berge 路径长度为 $t$，则 $n = t+1$ 且 $H$ 包含一个 Berge 哈密顿环。
• 该结果改进了此前 Berge 哈密顿环的下界：当 $\delta_1(H) > \binom{k}{r-1} + k+1$ 时，若 $n = 2k+2$ 或 $n = 2k+3$（依奇偶性而定），则 $H$ 包含一个 Berge 哈密顿环。
• 本文建立了 Dirac 定理在超图中的推广，首次为均匀超图中的 Berge 路径与环提供了 Dirac 型结果。