[论文解读] Avoiding long Berge cycles, the missing cases $k=r+1$ and $k = r+2$

Beka Ergemlidze, Ervin Győri+4 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Aug 23, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用 11

一句话总结

本文解决了在 $r$-uniform 超图中避免长 Berge 圆周的极值问题中剩余的未解情况，证明了在禁止长度为 $k = r+1$ 和 $k = r+2$ 的 Berge 圆周时，最大超边数的精确上界。作者表明，极值超图的特征是其 2-影由若干 $K_{r+1}$ 克拉奎组成，且每个克拉奎分别诱导恰好 $r$ 或 $r+1$ 条超边，具体取决于 $k$。结果证实了 Füredi、Kostochka 和 Luo 的一个猜想，并完成了对所有 $k \geq r+1$ 情况下此类极值超图的分类。

ABSTRACT

The maximum size of an $r$-uniform hypergraph without a Berge cycle of length at least $k$ has been determined for all $k \ge r+3$ by Füredi, Kostochka and Luo and for $k

研究动机与目标

• 解决确定在不含长度为 $k = r+1$ 或 $k = r+2$ 的 Berge 圆周的 $r$-uniform 超图中，最大超边数的开放问题。
• 解决 Füredi、Kostochka 和 Luo 关于这些情况的极值 Turán 型界限的猜想。
• 表征达到上界的极值超图的结构，表明其由 2-影中的 $K_{r+1}$ 块构成。
• 完成避免长 Berge 圆周的极值超图的分类，此前该分类仅在 $k \geq r+3$ 和 $k \leq r-1$ 时被解决。
• 建立对无穷多个 $n$ 均紧致的上界，扩展了超图 Turán 理论中的先前结果。

提出的方法

• 对顶点数使用归纳法，通过收缩 2-影中的块将问题简化为更小的实例。
• 分析超图的 2-影以识别 2-连通块，重点关注 $K_{r+1}$ 作为极值组件。
• 基于 2-影中一个块 $D$ 所诱导的超边数量进行案例分析，区分 $|D|-2$ 和 $|D|-1$ 条超边的情况。
• 证明任何不含长 Berge 圆周的超图，其 2-影必须由 $K_{r+1}$ 块组成，且每个块分别恰好支持 $r$ 或 $r+1$ 条超边。
• 通过涉及 Berge 路径和圆周的反证法，表明更大的或非克拉奎块将导致出现禁止的圆周。
• 利用超图中 Berge 路径和圆周的结构，限制顶点对周围超边的可能配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n$ 个顶点的 $r$-uniform 超图中，若不包含长度为 $r+1$ 的 Berge 圆周，其最大超边数是多少？
• RQ2 在 $n$ 个顶点的 $r$-uniform 超图中，若不包含长度为 $r+2$ 的 Berge 圆周，其最大超边数是多少？
• RQ3 在避免长度为 $r+1$ 或 $r+2$ 的 Berge 圆周的同时，达到最大超边数的极值超图的结构是什么？
• RQ4 $k = r+1$ 和 $k = r+2$ 情况下的极值超图与已知的 $k \geq r+3$ 或 $k \leq r-1$ 情况下的极值超图相比有何异同？
• RQ5 能否通过结构超图理论证明 Füredi、Kostochka 和 Luo 关于 $k = r+1$ 和 $k = r+2$ 情况下极值界限的猜想？

主要发现

• 对于 $k = r+1$，在 $n$ 个顶点的 $r$-uniform 超图中，若不包含长度为 $r+1$ 或更长的 Berge 圆周，则最大超边数为 $n-1$，且该界对无穷多个 $n$ 是紧致的。
• 对于 $k = r+2$，最大超边数为 $\frac{r+1}{r}(n-1)$，且等号成立当且仅当 2-影连通，且每个块是支持恰好 $r+1$ 条超边的 $K_{r+1}$。
• 对于 $k = r+1$ 的极值超图，其特征是其 2-影为连通图，其中每个块为 $K_{r+1}$，且每个此类块恰好诱导 $r$ 条超边。
• 对于 $k = r+2$ 的极值超图，其特征是其 2-影为连通图，其中每个块为 $K_{r+1}$，且每个此类块恰好诱导 $r+1$ 条超边。
• 结果证实了 Füredi、Kostochka 和 Luo 关于 $k = r+1$ 和 $k = r+2$ 情况下极值界限的猜想，完成了对避免长 Berge 圆周的极值超图的分类。
• 通过 2-影中 $K_{r+1}$ 块对极值实例的表征，提供了一个统一的结构框架，与其它 $k$ 值下已知的极值构造相一致。