[论文解读] A directed graph generalization of chromatic quasisymmetric functions

Brittney Ellzey|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文引入了有向图的色彩准对称函数，推广了Shareshian和Wachs关于标记图的工作。它利用G-下降定义了F-基展开，证明了对称情形下的p-正性，建立了有向环的e-正性，并将Shareshian-Wachs的e-正性猜想推广至环形不可比性有向图。

ABSTRACT

Stanley defined the chromatic symmetric function of a graph, and Shareshian and Wachs introduced a refinement, namely the chromatic quasisymmetric function of a labeled graph. In this paper, we define the chromatic quasisymmetric function of a directed graph, which agrees with the Shareshian-Wachs definition in the acyclic case. We give an F-basis expansion for all digraphs in terms of a permutation statistic, which we call G-descents. We use this expansion to derive a p-positivity formula for all digraphs with symmetric chromatic quasisymmetric functions. We show that the chromatic quasisymmetric functions of a certain class of digraphs, called circular indifference digraphs, have symmetric coefficients. We present an e-positivity formula for the chromatic quasisymmetric function of the directed cycle, which is a t-analog of a result of Stanley. Lastly, we give a generalization of the Shareshian-Wachs e-positivity conjecture to a larger class of digraphs.

研究动机与目标

• 将色彩准对称函数从无向图推广至有向图，同时在无环情形下保持与Shareshian和Wachs框架的一致性。
• 定义一个新的排列统计量G-下降，以实现任意有向图的色彩准对称函数的F-基展开。
• 为色彩准对称函数对称的有向图建立p-正性。
• 证明环形不可比性有向图的色彩准对称函数具有对称系数。
• 将Shareshian-Wachs的e-正性猜想推广至更广泛的有向图类，包括有向环。

提出的方法

• 将有向图的色彩准对称函数定义为所有正常染色的t加权和，其中权重由染色中上升数决定。
• 在排列上引入G-下降统计量，以参数化色彩准对称函数的F-基展开。
• 利用G-下降展开，推导出色彩准对称函数对称的有向图的p-正性公式。
• 通过环形弧表示刻画环形不可比性有向图，并证明其色彩准对称函数具有对称系数。
• 通过构造Stanley结果的t-类比，证明有向环的e-正性公式。
• 将Shareshian-Wachs的e-正性猜想推广至(3+1)-自由偏序集的定向图或环形不可比性有向图的类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持与无环情形一致的前提下，将色彩准对称函数从无向图推广至有向图？
• RQ2 何种排列统计量可实现任意有向图的色彩准对称函数的统一F-基展开？
• RQ3 在何种条件下，有向图的色彩准对称函数是p-正的？
• RQ4 环形不可比性有向图的色彩准对称函数是否具有对称系数？
• RQ5 Shareshian和Wachs的e-正性猜想能否推广至更广泛的有向图类，包括有向环？

主要发现

• 有向图的色彩准对称函数被定义为：在无环情形下，其退化为Shareshian和Wachs的函数。
• 通过排列上的G-下降统计量，为所有有向图提供了F-基展开。
• 为所有色彩准对称函数对称的有向图推导出p-正性公式。
• 证明了环形不可比性有向图的色彩准对称函数具有对称系数。
• 建立了有向环的色彩准对称函数的e-正性公式，作为Stanley结果的t-类比。
• 将Shareshian-Wachs的e-正性猜想推广至包含环形不可比性有向图及其他(3+1)-自由偏序集定向图的类。