[论文解读] A double large deviation principle for monge-ampere gravitation

Yann Brenier|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文通过在 N 个独立的布朗运动粒子的微观随机系统上两次应用大偏差原理（LDP），推导出离散 Monge-Ampère 引力模型。第一次 LDP 通过粒子不可区分性强制生成有效的一阶动力学，第二次 LDP 将其提升为恢复离散 MAG 模型的二阶保守系统，通过最优传输和大偏差原理，正式建立了随机粒子运动与非线性引力动力学之间的联系。

ABSTRACT

Monge-Ampere gravitation is a nonlinear modification of classical Newtonian gravitation, when the Monge-Ampere equation substitutes for the Poisson equation. We establish, through two applications of the large deviation principle, that the MA gravitation for a finite number of particles can be reduced, through a double application of the large deviation principle, to the simplest possible stochastic model: a collection of independent Brownian motions with vanishing noise.

研究动机与目标

• 从非相互作用粒子的简单微观模型出发，正式推导离散 Monge-Ampère 引力（MAG）模型。
• 证明 MAG 模型通过两次连续应用大偏差原理（LDP）而出现。
• 表明所得的二阶动力学对应于具有有界加速度的保守、非线性引力系统，与牛顿引力中的奇点形成对比。
• 建立随机粒子运动、最优传输与基于非线性 PDE 的引力之间形式上的联系。

提出的方法

• 对 N 个独立布朗运动粒子的系统应用大偏差原理（LDP），基于粒子不可区分性推导出有效的一阶动力系统。
• 利用 Freidlin-Wentzell LDP 分析带有漂移项 ∇Φ 的随机微分方程的小噪声极限，其中 Φ 是与最优传输相关的凸势能。
• 利用 ∇Φ(Y)²/2 = Φ(Y) 几乎处处成立的事实，将作用量原理重新表述为包含动能和势能的形式。
• 推导作用量的最优性条件，得到二阶常微分方程：d²Xₜ/dt² = ∇Φ(Xₜ)，该方程对应 MAG 模型。
• 将最优传输映射 σₜ 定义为粒子位置与其目标构型之间平方距离之和的最小化器，从而定义引力作用力。
• 利用通过势能 Φ 表征的 Monge-Ampère 方程结构，将离散 MAG 模型恢复为具有有界加速度的二阶系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散 Monge-Ampère 引力模型能否从非相互作用粒子的简单微观模型中推导出来？
• RQ2 大偏差原理如何实现从随机运动到确定性、保守动力学的转变？
• RQ3 粒子不可区分性在非相互作用粒子系统中生成有效相互作用的作用是什么？
• RQ4 对 LDP 的双重应用如何导致与 MAG 模型匹配的二阶、保守系统？
• RQ5 最优传输、大偏差与非线性引力动力学之间存在何种形式上的联系？

主要发现

• 离散 Monge-Ampère 引力模型作为 N 个独立布朗运动粒子系统的小噪声极限，通过两次连续应用大偏差原理而出现。
• 首次应用 LDP 生成基于粒子不可区分性的第一阶梯度流系统，尽管初始无相互作用，但强制产生有效相互作用。
• 第二次应用 LDP 将第一阶系统提升为由方程 d²Xₜ(a)/dt² = Xₜ(a) − A(σₜ(a)) 所支配的二阶动力系统，其中 σₜ 为最优传输映射。
• 所得系统对应于离散 MAG 模型，引力势能通过最优传输从 Monge-Ampère 方程中导出。
• 即使在粒子高密度聚集时，加速度仍保持有界，与牛顿引力中可能出现的发散或碰撞奇点形成对比。
• 形式推导依赖于恒等式 ½||∇Φ(Y)||² = Φ(Y) 几乎处处成立，该恒等式使作用量原理可重述为保守力学形式。