[论文解读] A family of mixed finite elements for the biharmonic equations on triangular and tetrahedral grids

Jun Hu, Rui Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 39被引用 8

一句话总结

本文提出了一类用于三角形和四面体网格上双调和方程的新混合有限元方法，采用通过强制 $\mathbf{div}\bm{\sigma}$ 的法向连续性从 $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-协调空间构建的 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-协调对称应力元。该方法在 $k \geq 3$ 时达到最优的 $k$ 阶收敛率，并表现出超收敛性，其有效性通过在均匀和非均匀网格上的数值实验得到验证。

ABSTRACT

This paper introduces a new family of mixed finite elements for solving a mixed formulation of the biharmonic equations in two and three dimensions. The symmetric stress $\bmσ=- abla^{2}u$ is sought in the Sobolev space $H({ m{div}}\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ simultaneously with the displacement $u$ in $L^{2}(Ω)$. Stemming from the structure of $H(\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ conforming elements for the linear elasticity problems proposed by J. Hu and S. Zhang, the $H({ m{div}}\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ conforming finite element spaces are constructed by imposing the normal continuity of $\bm{div}\bmσ$ on the $H(\bm{div},Ω;\mathbb{S})$ conforming spaces of $P_{k}$ symmetric tensors. The inheritance makes the basis functions easy to compute. The discrete spaces for $u$ are composed of the piecewise $P_{k-2}$ polynomials without requiring any continuity. Such mixed finite elements are inf-sup stable on both triangular and tetrahedral grids for $k\geq 3$, and the optimal order of convergence is achieved. Besides, the superconvergence and the postprocessing results are displayed. Some numerical experiments are provided to demonstrate the theoretical analysis.

研究动机与目标

• 开发一种基于混合变分公式的稳定且最优的混合有限元方法，用于二维和三维双调和方程。
• 在一般三角形和四面体网格上构造 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-协调的有限元，用于对称应力张量。
• 确保在非结构化网格上应力和位移变量均达到最优收敛率。
• 建立超收敛性与后处理结果，以提升计算精度。

提出的方法

• 通过在 $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-协调的 $P_k$ 对称张量元上强制 $\mathbf{div}\bm{\sigma}$ 的法向连续性，构建 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-协调的有限元空间。
• 对位移 $u$ 使用分片 $P_{k-2}$ 多项式且不施加连续性要求，从而简化离散空间的构造。
• 利用现有 $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-协调弹性力学元的结构，确保基函数具有计算可处理性。
• 通过精心构造离散函数空间，确保在三角形和四面体网格上对 $k \geq 3$ 实现 inf-sup 稳定性。
• 应用一种后处理技术以提升位移近似值的收敛速率。
• 在均匀和非均匀三角剖分上对方法进行数值验证，包括具有奇异扰动的 L 形区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一般三角形和四面体网格上，基于 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-协调应力元，构造出稳定且最优收敛的混合有限元方法来求解双调和方程？
• RQ2 如何高效地从现有的 $H(\mathbf{div};\mathbb{S})$-协调元构造 $H({\rm{div}}\,{\mathbf{div}};\mathbb{S})$-协调有限元？
• RQ3 该方法在非均匀和层状网格上的收敛行为如何，特别是在解存在奇异性的情况下？
• RQ4 所提出的方法是否表现出超收敛性？后处理能否进一步提升位移的收敛速率？

主要发现

• 所提出的混合有限元在三角形和四面体网格上对 $k \geq 3$ 均实现最优的 $k$ 阶收敛率，数值实验已证实此结论。
• 在均匀网格上，应力 $\sigma$ 的 $L^2$-范数误差收敛阶数约为 $k \approx 3.94$（当 $k=5$ 时），表明接近最优收敛。
• 位移 $u$ 的 $L^2$-范数误差收敛阶数约为 1.96（当 $k=5$ 时），趋近于最优的二阶收敛率。
• 观察到超收敛现象：在均匀网格上，后处理后的位移 $u_h^*$ 在 $H^2$-范数下的收敛率对 $k=5$ 达到 3.97。
• 在非均匀网格上，方法仍保持最优收敛率，$\sigma$ 和 $u$ 的 $L^2$ 误差分别收敛至最高 3.96 和 1.99 阶。
• 在具有奇异性解的 L 形域上，收敛性依然存在，但因奇异性导致性能下降，此时 $k=5$ 时位移误差收敛阶数为 1.48。