[论文解读] A family of symmetric functions associated with Stirling permutations

Rafael S. González D’León|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了一类与斯特林排列相关的对称函数，推广了涉及完全齐次对称函数和初等对称函数的经典恒等式。通过指数生成函数，建立了这些对称函数与欧拉多项式及 r-斯特林排列组合性质之间的新恒等式，关键结果表明了精细下降、上升和平台统计量的等分布性，并与模空间及自由李代数建立了联系。

ABSTRACT

We present exponential generating function analogues to two classical identities involving the ordinary generating function of the complete homogeneous symmetric functions. After a suitable specialization the new identities reduce to identities involving the first and second order Eulerian polynomials. The study of these identities led us to consider a family of symmetric functions associated with a class of permutations introduced by Gessel and Stanley, known in the literature as Stirling permutations. In particular, we define certain type statistics on Stirling permutations that refine the statistics of descents, ascents and plateaux and we show that their refined versions are equidistributed, generalizing a result of Bóna. The definition of this family of symmetric functions extends to the generality of $r$-Stirling permutations. We discuss some occurrences of these symmetric functions in the cases of $r=1$ and $r=2$.

研究动机与目标

• 将经典对称函数恒等式从普通生成函数推广到指数生成函数。
• 定义并研究与斯特林排列及其 r-类比相关的新型对称函数族。
• 将 Bóna 在排列中对下降、上升和平台的等分布结果推广到斯特林排列上的精细统计量。
• 探索这些对称函数与自由李代数和稳定曲线模空间等代数结构之间的联系。
• 研究结果是否可推广至 r ≥ 3 的 r-斯特林排列。

提出的方法

• 推导出涉及完全齐次对称函数和初等对称函数的经典对称函数恒等式的指数生成函数类比。
• 通过排列的连续上升类型，对斯特林排列上的下降、上升和平台统计量进行细化。
• 利用 B. Drake 关于复合逆的研究结果，通过组合解释在不使用偏序集拓扑的情况下证明主恒等式（定理 2.5）。
• 建立对称函数与自由多重括号李代数的多重线性分量之间的联系。
• 将结果应用于推导出模空间 $\overline{M_{0,n}}$ 的广义 Weil-Petersson 体积的闭合公式。
• 将框架扩展至 r-斯特林排列，并讨论 r ≥ 3 时的潜在推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称函数的指数生成函数恒等式能否从普通生成函数推广到指数生成函数？
• RQ2 斯特林排列上的精细统计量——下降、上升和平台——是否以与经典排列相同的方式实现等分布？
• RQ3 对于 r ≥ 3，对称函数 $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(r)}_n(\mathbf{x})$ 是否自然地出现在组合或代数背景中？
• RQ4 是否存在一个偏序集族 $P(n,r)$，使得其最大区间的莫比乌斯不变量由 $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(r)}_n(\mathbf{x})$ 给出？
• RQ5 对于 r ≥ 3，集合 $\{\mathop{\rm SP}\nolimits^{(r)}_\lambda(\mathbf{x}) \mid \lambda \vdash n\}$ 是否构成 $\Lambda_{\mathbb{Q}}$ 的第 n 个分次分量的一组基？

主要发现

• 本文证明了指数生成函数 $\sum_{n \geq 0} (-1)^n h_n(\mathbf{x}) \frac{y^n}{n!}$ 的逆等于 $\sum_{n \geq 0} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} e_{\lambda(\sigma)}(\mathbf{x}) \frac{y^n}{n!}$，推广了经典恒等式。
• 证明了 $\sum_{n \geq 1} (-1)^{n-1} h_{n-1}(\mathbf{x}) \frac{y^n}{n!}$ 的复合逆为 $\sum_{n \geq 1} \sum_{\theta \in \mathcal{Q}_{n-1}} e_{\lambda(\theta)}(\mathbf{x}) \frac{y^n}{n!}$，其中 $\mathcal{Q}_n$ 是集合 $\{1,1,2,2,\dots,n,n\}$ 的斯特林排列集合。
• 通过类型 $\lambda^{\text{AA}}, \lambda^{\text{DA}}, \lambda^{\text{TN}}, \lambda^{\text{IN}}$ 定义的斯特林排列上的精细统计量实现等分布，推广了 Bóna 的结果。
• 对称函数 $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(2)}_n(\mathbf{x})$ 被证明是 $\overline{M_{0,n}}$ 的广义 Weil-Petersson 体积在幂和基下的生成函数。
• $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(1)}_n(\mathbf{x})$ 和 $\mathop{\rm SP}\nolimits^{(2)}_n(\mathbf{x})$ 被证明是 $\Lambda_{\mathbb{Q}}$ 的生成元，并用于计算加权分拆偏序集中最大区间的莫比乌斯不变量。
• 本文通过一个关于和为 $\lambda$ 的 k 元组分拆的求和，给出了 $WP(\lambda)$（高阶 Weil-Petersson 体积）的闭合公式，其中涉及多项式系数和阶乘系数。