[论文解读] A Family of Tractable Graph Distances

José Bento, Stratis Ioannidis|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Complex Network Analysis Techniques被引用 10

一句话总结

本文提出了一类可计算的图距离，通过在结构化矩阵集（如双随机矩阵或正交矩阵）上进行优化，推广了化学距离和CKS距离，从而在理论上保证了度量性质。该方法通过凸优化或谱方法确保度量性质和可计算性，同时在不牺牲这些保证的前提下，将节点属性作为软约束或硬约束纳入其中。

ABSTRACT

Important data mining problems such as nearest-neighbor search and clustering admit theoretical guarantees when restricted to objects embedded in a metric space. Graphs are ubiquitous, and clustering and classification over graphs arise in diverse areas, including, e.g., image processing and social networks. Unfortunately, popular distance scores used in these applications, that scale over large graphs, are not metrics and thus come with no guarantees. Classic graph distances such as, e.g., the chemical and the CKS distance are arguably natural and intuitive, and are indeed also metrics, but they are intractable: as such, their computation does not scale to large graphs. We define a broad family of graph distances, that includes both the chemical and the CKS distance, and prove that these are all metrics. Crucially, we show that our family includes metrics that are tractable. Moreover, we extend these distances by incorporating auxiliary node attributes, which is important in practice, while maintaining both the metric property and tractability.

研究动机与目标

• 解决数据挖掘和机器学习中缺乏可扩展、可证明为度量的图距离的问题。
• 克服经典图距离（如化学距离和CKS距离）的不可计算性，尽管它们是度量但计算复杂度为NP难。
• 通过确保度量性和可计算性，使基于度量的算法（如聚类、最近邻搜索）能够在大规模图上实际应用。
• 在不破坏度量性质和计算效率的前提下，将节点属性（如年龄、原子序数）纳入图距离。
• 提供理论条件，以确保广义图距离在存在结构或属性约束时仍保持度量性质。

提出的方法

• 将一般图距离定义为 $ d_S(A,B) = \min_{P \in S} \|AP - PB\| $，其中 $ S $ 是闭且有界的矩阵集合，$ \|\cdot\| $ 为矩阵范数。
• 证明当 $ S $ 为置换矩阵集 $ \mathbb{P}^n $、双随机矩阵集 $ \mathbb{W}^n $ 或正交矩阵集 $ \mathbb{O}^n $ 时，$ d_S $ 为伪度量，且在适当的范数条件下成立。
• 通过证明 $ d_S $ 在 $ S = \mathbb{W}^n $ 时可转化为凸优化问题，在 $ S = \mathbb{O}^n $ 时可简化为谱分解（如SVD），从而确保可计算性。
• 通过在目标函数中引入软惩罚项（如）或硬约束（如强制标签保持），将框架扩展至支持节点属性，同时保持度量性和可计算性。
• 利用图着色（如Weisfeiler-Lehman）在优化中引入稀疏性，减少变量数量，加速计算。
• 通过合成图和真实世界网络的实证验证，将方法与非度量基线及精确化学距离进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一类广义图距离，使其在理论上可证明为度量且计算上可处理？
• RQ2 如何在不破坏度量性质或可扩展性的情况下，将节点属性纳入图距离？
• RQ3 三角不等式违反（TIVs）在多大程度上会降低聚类性能？与非度量距离相比，基于度量的距离表现如何？
• RQ4 通过Weisfeiler-Lehman着色引入的结构约束，能否在不损失准确性的前提下显著减少计算时间？
• RQ5 所提出的可计算距离在相似性和聚类性能方面，与精确化学距离的接近程度如何？

主要发现

• 基于 $ \mathbb{W}^n $（双随机矩阵）和 $ \mathbb{O}^n $（正交矩阵）的所提距离在标准矩阵范数（包括Frobenius范数和算子2-范数）下，可被严格证明为度量。
• 在 $ \mathbb{W}^n $ 上的优化可通过凸规划高效求解，在 $ \mathbb{O}^n $ 上的优化可通过谱分解实现，从而在大规模图上实现高效计算。
• 将节点属性作为软约束或硬约束纳入时，可同时保持度量性和可计算性，实现保留特征的图比较。
• 三角不等式违反（TIVs）会显著降低聚类性能：即使仅1%的TIVs也会导致误分类率急剧上升，而基于度量的距离则保持稳健性能。
• 所提方法在与精确化学距离的相似性（通过DISTATIS和元图中的边重叠度量）方面表现优异，部分变体（如Natalie）在逼近精确度量方面优于其他方法。
• 利用Weisfeiler-Lehman着色引入约束可降低有效优化维度，在5,242个节点的合作图上，计算收敛速度最高可提升110倍。