[论文解读] A Faster Algorithm for Fully Dynamic Betweenness Centrality

Matteo Pontecorvi, Vijaya Ramachandran|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Complex Network Analysis Techniques参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在有向加权图中维护介数中心性的更快完全动态算法，每次更新的摊销时间复杂度为 $ O({u^{*}}^{2} \bullet \log^{2}n) $，其中 $ \nu^{*} $ 限制了通过任意顶点的最短路径上不同边的数量。该方法扩展了 Thorup 的完全动态 APSP 方法，使用新颖的数据结构以紧凑方式表示多条最短路径，相较于先前的精确动态 BC 算法，将对数因子降低了。

ABSTRACT

We present a new fully dynamic algorithm for maintaining betweenness centrality (BC) of vertices in a directed graph $G=(V,E)$ with positive edge weights. BC is a widely used parameter in the analysis of large complex networks. We achieve an amortized $O((ν^*)^2 \log^2 n)$ time per update, where $n = |V| $ and $ν^*$ bounds the number of distinct edges that lie on shortest paths through any single vertex. This result improves on the amortized bound for fully dynamic BC in [Pontecorvi-Ramachandran2015] by a logarithmic factor. Our algorithm uses new data structures and techniques that are extensions of the method in the fully dynamic algorithm in Thorup [Thorup2004] for APSP in graphs with unique shortest paths. For graphs with $ν^* = O(n)$, our algorithm matches the fully dynamic APSP bound in [Thorup2004], which holds for graphs with $ν^* = n-1$, since it assumes unique shortest paths.

研究动机与目标

• 开发一种在有向加权图中完全动态介数中心性的可证明更快的精确算法。
• 在先前最佳摊销时间界 $ O({\nu^{*}}^{2} \cdot \log^{3}n) $ 的基础上，通过降低对数因子来改进完全动态 BC 的性能。
• 将 Thorup 的完全动态 APSP 技术推广至处理每对顶点间的多条最短路径，从而实现高效的 BC 维护。
• 设计新型数据结构，以紧凑方式表示所有最短路径，同时支持高效的动态更新和路径计数。
• 当 $ \nu^{*} = O(n) $ 时，使新算法与 Thorup 的完全动态 APSP 算法的复杂度边界保持一致，尤其在具有唯一最短路径的图中。

提出的方法

• 扩展 Thorup 的完全动态 APSP 框架，通过为路径表示引入广义元组系统，支持每对顶点间的多条最短路径。
• 引入一种分层数据结构，包含特定层级的集合 $ L_j^*, R_j^*, LC_j^*, RC_j^* $，用于跟踪不同层级下最短路径的左右扩展。
• 使用优先队列 $ H_f $ 处理由 $ (xa, by) $ 形式的三元组，附带权重和计数，确保仅处理新发现或已更新的路径。
• 利用标记元组和控制位追踪路径更新，并在动态变化期间维护不变性，确保跨层级的正确性。
• 利用 'ff-fixup' 过程恢复并传播路径计数，通过有效的左右扩展，确保所有最短路径均被正确维护。
• 将 Thorup 的唯一路径模型中的层级图概念推广至多路径场景，支持在多条路径层级间高效传播更新。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种完全动态介数中心性算法，其摊销时间界优于先前的 $ O({\nu^{*}}^{2} \cdot \log^{3}n) $ 方法？
• RQ2 是否可以将原本仅适用于唯一最短路径的 Thorup 完全动态 APSP 算法推广至高效处理多条最短路径？
• RQ3 用于路径表示的数据结构能否被扩展以支持动态更新，同时保持正确性和对数级别的性能开销？
• RQ4 当 $ \nu^{*} = O(n) $ 时，新算法是否能达到与 Thorup 的 APSP 算法相同的渐近时间界，特别是在具有唯一最短路径的图中？
• RQ5 如何利用通过顶点的最短路径上不同边的数量（$ \nu^{*} $）作为参数，来界定动态 BC 计算的复杂度？

主要发现

• 所提出的算法实现了每次更新 $ O({\nu^{*}}^{2} \cdot \log^{2}n) $ 的摊销时间复杂度，相较于先前最佳结果，对数因子降低了。
• 在 $ \nu^{*} = O(n) $ 的图中，该算法与 Thorup 的完全动态 APSP 算法的复杂度边界一致，后者假设存在唯一最短路径。
• 该算法通过新颖的元组系统和分层数据结构，在动态更新过程中始终保持介数中心性得分和全源最短路径的正确性。
• 该方法将 Thorup 的层级图技术推广至多路径场景，支持每对顶点间的多条最短路径，从而实现高效的路径计数与传播。
• 通过控制位和标记元组，该算法正确维护路径计数，确保每次更新仅处理新发现或已更新的路径。
• ff-fixup 过程确保所有最短路径在各层级间被正确恢复和扩展，维持了所有有效路径均被计入的不变性。