[论文解读] A Few Projects in String Theory

A. M. Polyakov|ArXiv.org|Apr 28, 1993

Computational Physics and Python Applications参考文献 1被引用 17

一句话总结

本文通过共形场论与动态二维引力耦合的视角，探讨了量子引力与非临界弦理论，提出引力可能通过微分同胚不变性简化重整化，并通过$\.beta$-对称性提出对配分函数的哈密顿-雅可比解释。一个关键结果是在一环近似下推导出修正的$\.beta$-函数，其具有普遍因子$\frac{k+2}{k+1}$，其中$k$为$SL(2)$代数的中心电荷。

ABSTRACT

In these lectures I discuss various unsolved problems of string theory and their relations to quantum gravity, 3d Ising model, large N QCD, and quantum cosmology. No solutions are presented but some new and perhaps useful approaches are suggested.

研究动机与目标

• 研究是否可通过将时空视为动态的随机曲面而非连续流形，来一致地表述量子引力。
• 检验爱因斯坦引力的非可重整性是否可通过尺度依赖的耦合常数得到解决，类比于非线性$\sigma$-模型。
• 探讨共形场论与微分同胚不变性在简化量子引力算符代数中的作用。
• 理解引力的相结构，特别是未破缺相的本质以及在高能下牛顿常数的行为。
• 建立一个框架，利用$\beta$-对称性与异常诱导修正，计算非临界弦理论中配分函数的尺度依赖性。

提出的方法

• 将量子引力形式化为与自诱导二维引力场耦合的共形场论，将时空视为随机曲面。
• 在目标空间场$G_{\mu\nu}$与$\Phi$上引入$\beta$-对称性变换，以探测配分函数$Z$的尺度依赖性。
• 推导出$Z$的功能方程(47)，该方程将$\beta$-对称性下的变分与世界面异常联系起来，涉及能量-动量张量的迹和一个作用于弦态上的度量$\Gamma^{IJ}$。
• 将配分函数$Z$解释为在具有额外Liouville维度的临界弦设定中，方程运动解上的经典作用量$W$的取值。
• 使用哈密顿-雅可比形式化方法，将方程(47)解释为经典作用量方程，从而实现一环尺度依赖性的计算。
• 将该框架应用于计算$\beta$-函数的一环修正，发现引力通过一个普遍因子$\frac{k+2}{k+1}$对所有$\beta$-函数产生修正，其中$k$为$SL(2)$代数的中心电荷。

实验结果

研究问题

• RQ1 爱因斯坦引力的非可重整性是否可通过引入尺度依赖的牛顿常数来解决，类似于非线性$\sigma$-模型中的$\kappa(p)$演化？
• RQ2 在量子引力中，当$\langle G_{\mu\nu} \rangle = 0$时的“未破缺相”具有何种物理意义，其不变定义为何？
• RQ3 在非临界弦理论中，配分函数$Z(G_{\mu\nu}, \Phi)$对背景场变化的响应如何，其尺度依赖性由什么决定？
• RQ4 引力效应是否可系统性地修改非临界弦的$\beta$-函数，若可，其修正的普遍结构为何？
• RQ5 非临界弦理论中的配分函数是否等价于高维临界弦设定中的经典作用量，且该等价性是否可用于计算退化世界面的贡献？

主要发现

• 在高能下，量子引力中的有效牛顿常数可能按$\kappa(p^2) \sim p^{-2}$演化，提示存在类似于非线性$\sigma$-模型的紫外固定点。
• 当$\langle G_{\mu\nu} \rangle = 0$时，引力的未破缺相在概念上存在问题，因其具有规范依赖性，其物理解释仍不明确。
• 在非临界弦理论中，配分函数$Z$满足一个功能方程(47)，该方程涉及$\beta$-对称性变分与一个由$\delta Z / \delta \lambda^I$的二次型及背景场的局部函数构成的异常项。
• 方程(47)中的异常项源于退化的世界面几何：第一项来自夹紧的球面，第二项来自完全坍缩。
• 在具有Liouville维度的临界弦背景下，配分函数$Z$等于在初始数据$G_{\mu\nu}(x, \phi_0)$的解上取值的经典作用量$W$，从而确立了哈密顿-雅可比解释。
• 在一环近似下，引力通过一个普遍因子$\frac{k+2}{k+1}$修正所有$\beta$-函数，其中$k$为$SL(2)$代数的中心电荷，表明重整化结构得到了深层次简化。