[论文解读] A fibrational study of realizability toposes

Jonas Frey|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 35被引用 11

一句话总结

本文利用一致预序和纤维结构，构建了实现拓扑的纤维化框架，展示了实现拓扑三元组和拓扑如何从纤维化共完备化和层化等范畴构造中产生。主要贡献在于通过一致预序及其相关装配范畴，对实现拓扑进行了特征刻画。

ABSTRACT

This is the author's PhD thesis. It is a contribution to categorical logic, in particular to the theory of realizability toposes. While the tools of categorical logic have proven very successful in analyzing and organizing proof theoretic realizability interpretations, it was remarked by experts (notably Peter Johnstone) that the field of realizability toposes itself was not clearly delineated, and lacked a powerful theory analogous to that of Grothendieck toposes. The present work sets out to remedy this situation to a certain extent. We argue that realizability toposes are best understood using Grothendieck fibrations, and develop a framework of fibrational cocompletions, which allows to view certain constructions from realizability in precise analogy to constructions of presheaf and sheaf toposes. Using these techniques, and a class of posetal fibrations that we call uniform preorders, we are able to give an extensional characterization of partial combinatory algebras and of the realizability toposes that are constructed from these algebras. Striving to develop the analogy to Grothendieck toposes further, we outline how to apply our techniques on arbitrary base toposes, and give a decomposition theorem for constant objects functors induced by triposes, analogous to the known decompositions of geometric morphisms. Finally, we sketch an approach of how to find a unified framework for Grothendieck toposes and realizability toposes, based on the observation that uniform preorders can be identified with preorders internal to a category of sheaves.

研究动机与目标

• 开发一种实现拓扑的纤维化框架，以推广并统一现有的范畴论方法。
• 通过一致预序的视角，阐明实现三元组、拓扑与内部逻辑之间的关系。
• 研究纤维化构造——尤其是共完备化和层化——如何在不依赖选择公理的前提下生成实现模型。
• 通过将实现嵌入内部范畴和丰富范畴的更广泛框架中，探索实现的范畴语义。
• 通过用一个宇宙上的大层取代 $Ø\mathscr{P}{\mathbf{Set}}$，解决实现中的基础性问题，避免与选择公理相关的问题。

提出的方法

• 从部分组合代数（PCAs）构造纤维化，并利用它们来建模实现超理论。
• 引入一致预序作为实现结构的范畴抽象，推广了适度集和BCOs。
• 应用纤维化共完备化技术——特别是 $D$-构造和纤维化正共完备化——以生成实现拓扑。
• 在一致预序上定义纤维化层和装配，以恢复实现模型的内部逻辑。
• 使用丰富范畴论，将一致预序解释为在下闭关系的量化幺半群上的丰富范畴。
• 通过在宇宙上的大正则层中取表示对象的小余极限，重构实现拓扑，从而避免对选择公理的依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用纤维化和共完备化技术系统地构造实现拓扑？
• RQ2 何种范畴结构刻画了产生实现三元组的一致预序类？
• RQ3 纤维化共完备化和层化在何种方式下恢复了实现模型的内部逻辑？
• RQ4 如何在不假设选择公理的前提下构造实现拓扑？
• RQ5 一致预序能否自然地解释为丰富范畴？这与现有的范畴实现框架有何关联？

主要发现

• 一致预序为实现提供了范畴基础，推广了适度集和BCOs，并捕捉了实现三元组的本质结构。
• 纤维化 $D$-构造和纤维化正共完备化生成了作为一致预序上装配范畴的实现拓扑。
• 在一致预序上的纤维化层恢复了实现模型的内部逻辑，其真值由一致实现者给出。
• 小正则层范畴在宇宙 $Ø\mathbf{SET}$ 上，作为大正则层中表示对象的小余极限构造而成，形成一个支持实现语义的拓扑。
• 一致预序可等价地描述为在下闭关系的量化幺半群上的丰富范畴，为它们的结构提供了新视角。
• 通过纤维化共完备化构造实现拓扑，避免了对选择公理的依赖，因为其在大集合宇宙内进行，确保了对余极限的封闭性。