[论文解读] A Finite-Dimensional String 2-Group

Christopher Schommer‐Pries|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文在李群胚的双bundle与双bundle映射的2-范畴中，将弦2-群构造为一个有限维的中心扩张，提供了一个几何的、光滑的模型，该模型在同伦意义下实现了String(n)空间。它通过拓扑群上同调，确立了弦2-群的唯一有限维实现，解决了长期存在的无限维模型问题。

ABSTRACT

We provide a model of the String group as a central extension of finite-dimensional 2-groups in the bicategory of Lie groupoids, left-principal bibundles, and bibundle maps. This bicategory is a geometric incarnation of the bicategory of smooth stacks and generalizes the more naive 2-category of Lie groupoids, smooth functors, and smooth natural transformations. In particular this notion of smooth 2-group subsumes the notion of Lie 2-group introduced by Baez-Lauda. More precisely we classify a large family of these central extensions in terms of the topological group cohomology introduced by G. Segal, and our String 2-group is a special case of such extensions. There is a nerve construction which can be applied to these 2-groups to obtain a simplicial manifold, allowing comparison with with the model of A. Henriques. The geometric realization is an $A_\infty$-space, and in the case of our model, has the correct homotopy type of String(n). Unlike all previous models our construction takes place entirely within the framework of finite dimensional manifolds and Lie groupoids. Moreover within this context our model is characterized by a strong uniqueness result. It is a unique central extension of Spin(n).

研究动机与目标

• 在光滑堆的框架内，为弦2-群提供一个有限维的几何实现。
• 通过将构造嵌入李群胚与双bundle的2-范畴中，克服先前无限维模型的局限性。
• 利用G. Segal的拓扑群上同调对李2-群的中心扩张进行分类。
• 在该框架内，确立弦2-群作为Spin(n)的中心扩张的强唯一性结果。
• 确保该2-群的神经构造的几何实现具有String(n)的正确同伦类型。

提出的方法

• 将弦2-群建模为李群胚、左-主双bundle与双bundle映射的2-范畴中的中心扩张。
• 利用G. Segal的拓扑群上同调对这类中心扩张的广泛族进行分类。
• 构造2-群的神经构造，生成一个单纯流形，以与Henriques的模型进行比较。
• 对神经构造应用几何实现，得到一个具有正确同伦类型的$A_\infty$-空间。
• 证明该构造完全保留在有限维流形与李群胚中。
• 证明在该框架内，弦2-群作为Spin(n)的中心扩张具有唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用李群胚与双bundle，将弦2-群实现为一个有限维的光滑2-群？
• RQ2 在同伦类型方面，该模型与Henriques的单纯流形模型相比如何？
• RQ3 G. Segal的拓扑群上同调在对李2-群的中心扩张进行分类中起什么作用？
• RQ4 是否存在唯一的有限维中心扩张，使得Spin(n)能实现弦2-群？
• RQ5 该2-群的神经构造的几何实现是否产生一个具有String(n)同伦类型的$A_\infty$-空间？

主要发现

• 所构造的弦2-群是李群胚与双bundle的2-范畴中，Spin(n)的一个有限维中心扩张。
• 通过其神经构造的几何实现，该模型实现了String(n)的正确同伦类型。
• 该构造完全保留在有限维流形中，解决了无限维方法带来的问题。
• 该模型在该语境下满足强唯一性性质，即作为Spin(n)的唯一中心扩张。
• 神经构造产生一个单纯流形，其几何实现是一个$A_\infty$-空间。
• 此类扩张的分类通过G. Segal的拓扑群上同调实现，提供了一个系统的框架。