[论文解读] A Formal Analysis of (2+1)-dimensional Gravity

K.N. Srinivasan, Τ. Padmanabhan|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 1999

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文使用爱因斯坦作用量原理，对(2+1)维引力进行形式化分析，推导出牛顿极限和结构形成流体方程，发现标准爱因斯坦引力下在二维空间维度中无密度扰动增长——这意味着在此框架下结构形成不可能实现。作者提出了替代方法以克服此局限性，适用于宇宙学模拟。

ABSTRACT

Several investigations in the study of cosmological structure formation use numerical simulations in both two and three dimensions. In this paper we address the subtle question of ambiguities in the nature of two-dimensional gravity in an expanding background. We take a detailed and formal approach by deriving the equations describing gravity in (D+1) dimensions using the action principle of Einstein. We then consider the Newtonian limit of these equations and finally obtain the necessary fluid equations required to describe structure formation. These equations are solved for the density perturbation in both the linearized form and in the spherical top-hat model of nonlinear growth. We find that, when the special case of D=2 is considered, no structures can grow. We therefore conclude that, within the frame work of Einstein's theory of gravity in (2+1) dimensions, formation of structures cannot take place. Finally, we indicate the different possible ways of getting around this difficulty, so that growing structures can be obtained in two-dimensional cosmological gravitational simulations, and discuss their implications.

研究动机与目标

• 使用爱因斯坦引力理论，研究在二维空间维度中结构形成的理论可行性。
• 解决在膨胀宇宙背景中2D引力公式表述中的模糊性。
• 推导(D+1)维引力中控制结构增长的流体方程，并分析D=2这一特殊情况下的行为。
• 确定在标准广义相对论下，二维空间维度中密度扰动能否发生非线性增长。
• 识别可使2D宇宙学模拟中实现结构形成的理论修正方法。

提出的方法

• 使用爱因斯坦-希尔伯特作用量原理，推导(D+1)维引力的运动方程。
• 对推导出的方程取牛顿极限，获得引力势的泊松型方程。
• 在线性和非线性区域中，制定密度和速度扰动的流体方程。
• 求解D=2情况下的线性化流体方程，分析密度扰动。
• 应用球对称帽模型，分析二维空间维度中扰动的非线性增长。
• 将D=2的结果与更高维情况对比，以识别结构性限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在爱因斯坦广义相对论框架下，(2+1)维引力中密度扰动能否增长？
• RQ2 (2+1)维引力的牛顿极限对宇宙学结构形成有何影响？
• RQ3 为何球对称帽模型在二维空间维度中无法产生增长结构？
• RQ4 对引力理论进行何种修改可使2D宇宙学模拟中实现结构形成？
• RQ5 维度数D如何影响宇宙流体方程中密度扰动的稳定性和增长？

主要发现

• (2+1)维引力中，标准爱因斯坦-希尔伯特作用量下无密度扰动增长，表明该框架下结构形成不可能实现。
• (2+1)维引力的牛顿极限导致引力势呈对数衰减，抑制了密度不均匀性的增长。
• 在D=2下，线性化流体方程中无增长模态，证实了结构形成所必需的不稳定性缺失。
• 在二维空间维度中，球对称帽模型无法实现非线性增长，因为坍缩条件无法满足。
• 结构形成缺失是时空维度及(2+1)维中引力作用量形式的直接结果。
• 必须考虑替代方法——如修改作用量或引入额外场——以实现可行的2D宇宙学模拟。