[论文解读] A Formula for the Geometric Jacquet Functor and its Character Sheaf Analogue

Tsao-Hsien Chen, Alexander Yom Din|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过将对称空间的'美妙退化'退化到基仿射空间 $MN\backslash G$，建立了附近循环函子的几何公式。证明了在特征 sheaves 上，该函子同构于两个平均函子的复合，从而为 Casselman 的子模定理提供了几何证明，并建立了 Harish-Chandra 模的第二个伴随定理。

ABSTRACT

Let (G,K) be a symmetric pair over the complex numbers, and let X=K\G be the corresponding symmetric space. In this paper we study a nearby cycles functor associated to a degeneration of X to MN\G, which we call the "wonderful degeneration". We show that on the category of character sheaves on X, this functor is isomorphic to a composition of two averaging functors (a parallel result, on the level of functions in the p-adic setting, was obtained in [BK, SV]). As an application, we obtain a formula for the geometric Jacquet functor of [ENV] and use this formula to give a geometric proof of the celebrated Casselman's submodule theorem and establish a second adjointness theorem for Harish-Chandra modules.

研究动机与目标

• 通过在对称空间中使用退化技术，发展 Jacquet 函子的几何框架。
• 建立与 $K\backslash G$ 到 $MN\backslash G$ 的'美妙退化'相关的附近循环函子的公式。
• 证明在特征 sheaves 的范畴上，该函子同构于两个平均函子的复合。
• 将该公式应用于为 Harish-Chandra 模的 Casselman 子模定理和第二个伴随定理提供几何证明。

提出的方法

• 构造一个 ${\mathbb{G}}_m$-等变退化 $f: \widetilde{X} = \widetilde{K}\backslash \widetilde{G} \to \mathbb{P}^1$，其中 $\widetilde{K}$ 在 $t=0$ 时退化为 $MN$，在 $t=\infty$ 时退化为 $M\bar{N}$。
• 将极限函子 $L_\gamma := \psi_f \circ a_f^*$ 定义为附近循环函子 $\psi_f$ 与从开层 $X^\circ \cong \mathbb{G}_m \times X_1$ 到 $X_1$ 的拉回 $a_f^*$ 的复合。
• 利用等变导出范畴以及 $!$-和 $*$-平均函子的理论，将 $L_\gamma$ 与 $\operatorname{av}_{MN}^{M\bar{N}} \circ \operatorname{Av}_{M\bar{N}}^K$ 在特征 sheaves 的范畴上联系起来。
• 利用 $L_\gamma$ 和平均函子在 perverse $t$-结构下的 $t$-正合性，建立同构关系。
• 构造显式的 $G$-概形 $Y$，并赋予 $\mathbb{A}^1$-值态射 $f: \mathbb{A}^1 \to Y$，使得 $f(t)$ 的稳定化子包含 $K_t(k)$ 作为有限指数子群，方法是利用具有受控权的 $G$ 的表示。
• 使用最低权表示和共轭的表示论论证，控制稳定化子并验证所需的几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用标准几何函子表达与对称空间的美妙退化相关的附近循环函子？
• RQ2 在特征 sheaves 上，极限函子 $L_\gamma$ 是否同构于平均函子的复合？
• RQ3 在 $D$-模或 $\ell$-adic sheaves 的背景下，能否通过退化和附近循环函子表征几何 Jacquet 函子？
• RQ4 同构 $L_\gamma \simeq \operatorname{av}_{MN}^{M\bar{N}} \circ \operatorname{Av}_{M\bar{N}}^K$ 是否意味着 Harish-Chandra 模的 $t$-正合性和伴随性质？
• RQ5 这种几何方法能否为 Casselman 的子模定理和第二个伴随定理提供新证明？

主要发现

• 极限函子 $L_\gamma: D\mathcal{CS}(X_1/K) \to D(X_0/K)$ 在特征 sheaves 的范畴上自然同构于复合函子 $\operatorname{av}_{MN}^{M\bar{N}} \circ \operatorname{Av}_{M\bar{N}}^K$。
• 复合函子 $\operatorname{av}_{MN}^{M\bar{N}} \circ \operatorname{Av}_{M\bar{N}}^K$ 在 perverse $t$-结构下是 $t$-正合的。
• 函子 $L_\gamma$ 同时具有左伴随和右伴随，这是同构和 $t$-正合性的结果。
• 该几何方法为 Harish-Chandra 模的 Casselman 子模定理提供了新证明。
• 通过退化诱导的导出等价性，几何地建立了 Harish-Chandra 模的第二个伴随定理。
• 该构造在 $D$-模、$\ell$-adic 和构造性 sheaf 设置下均成立，推广了先前在 $p$-进函数理论设置下的结果。