[论文解读] Geometry of second adjointness for p-adic groups

Roman Bezrukavnikov, David Kazhdan|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文通过美妙紧化与边界子簇的渐近几何，给出了半单 $p$-进群第二伴随性的几何证明。它引入了 $G \times G$-概形上函数空间之间的共特化映射，通过旗球变换与逆交织算子实现该映射，并在交换的 Hecke 子代数上导出一个 Plancherel 型公式，推广了 Opdam 的结果。

ABSTRACT

We present a geometric proof of Bernstein's second adjointness for a reductive $p$-adic group. Our approach is based on geometry of the wonderful compactification and related varieties. Considering asymptotic behavior of a function on the group in a neighborhood of a boundary stratum of the compactification, we get a "co-specialization" map between spaces of functions on various varieties with $G imes G$ action. These maps can be viewed as maps of bimodules for the Hecke algebra, and the corresponding natural transformations of functors lead to the second adjointness. We also get a formula for the "co-specialization" map expressing it as a composition of the orishperic transform and inverse intertwining operator; a parallel result for $D$-modules was obtained in arXiv:0902.1493. As a byproduct we obtain a formula for the Plancherel functional restricted to a certain commutative subalgebra in the Hecke algebra, generalizing a result by Opdam.

研究动机与目标

• 为半单 $p$-进群表示理论中的第二伴随性提供几何解释。
• 构建并刻画由美妙紧化边界子簇的渐近行为所引出的 $G \times G$-概形上函数空间之间的共特化映射。
• 通过旗球变换与逆交织算子，显式表达该共特化映射。
• 导出 Hecke 代数的交换子代数上 Plancherel 泛函的公式，推广 Opdam 的结果。

提出的方法

• 利用半单 $p$-进群 $G$ 的 De Concini-Procesi 美妙紧化，研究边界中 $G \times G$-轨道附近的渐近行为。
• 定义一个从概形 $X$ 上的函数到 $G$ 上的函数的共特化映射 $\mathsf{B}$，其特征为 $G \times G$-等变性且渐近等价于恒等映射。
• 通过紧化中子簇的法丛转移构造映射 $\mathsf{B}$，采用函数渐近转移的形式语言。
• 将 $\mathsf{B}$ 表示为旗球变换与逆交织算子的复合，从而建立第二伴随性的几何实现。
• 将该形式语言应用于计算 Hecke 代数的交换子代数上的 Plancherel 泛函，推广 Opdam 的公式。
• 采用扇形覆盖与拟法丛分析紧化的局部几何，确保子簇附近结构的良好逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过紧化理解 $p$-进表示理论中抛物诱导与 Jacquet 范函的第二伴随性？
• RQ2 负责第二伴随性的共特化映射的精确几何构造是什么？
• RQ3 该共特化映射如何用已知的积分变换（如旗球变换与交织算子）表达？
• RQ4 美妙紧化及其边界子簇在实现 Hecke 代数双模中的作用是什么？
• RQ5 能否在此几何框架下显式计算 Hecke 代数的交换子代数上的 Plancherel 泛函？

主要发现

• 共特化映射 $\mathsf{B}$ 被唯一地表征为函数上恒等映射的 $G \times G$-等变渐近扩张，从而实现了第二伴随性的几何实现。
• $\mathsf{B}$ 显式地实现为旗球变换与逆交织算子的复合，为第二伴随性同构提供了几何公式。
• 该构造给出了第二伴随性的一个新证明，其本质源于美妙紧化及其边界子簇的几何结构。
• 导出了 Plancherel 泛函在 Hecke 代数的交换子代数上的限制的 Plancherel 型公式，推广了 Opdam 的结果。
• 扇形覆盖与拟法丛的形式语言确保了紧化子簇的良好行为，使得共特化映射可通过局部几何构造。
• 共特化映射在光滑表示的范畴上诱导出自函子的自然变换，从而在函子层面上实现了第二伴随性。